149. Решение задач с помощью составления уравнений.

С помощью уравнений решаются многочисленные задачи, к которым приводят самые разнообразные вопросы физики, механики, экономики и многих других прикладных наук. Прежде всего напомним общий порядок решения задач с помощью уравнений.

1) Вводят переменные, т. е. буквами х, у, z обозначают неизвестные величины, которые либо требуется найти в задаче, либо они необходимы для отыскания искомых величин.

2) С помощью введенных переменных и данных в задаче чисел и их соотношений составляют систему уравнений (или одно уравнение).

3) Решают составленную систему уравнений (или уравнение) и из полученных решений отбирают те, которые подходят по смыслу задачи.

4) Если буквами у, z обозначили не искомые величины, то с помощью полученных решений находят ответ на вопрос задачи.

Задача 1. Для перевозки груза из одного места в другое затребовали некоторое количество машин. Ввиду неисправности дороги на каждую машину пришлось грузить на меньше, чем предполагалось, поэтому дополнительно потребовались 4 машины. Какое количество машин было затребовано первоначально?

Решение. Обозначим через х количество машин, затребованных первоначально. Тогда на самом деле было вызвано машин. Так как надо было перевезти груза, то 60 предполагалось, что на одну машину будут грузить — тонн груза, а на самом деле грузили тонн груза, что на меньше, чем предполагалось. В результате мы приходим к уравнению

Это уравнение имеет два корня: —24 и 20. Ясно, что по смыслу задачи — 24 не подходит. Таким образом, первоначально было затребовано 20 машин.

Задача 2. Моторная лодка, обладающая скоростью движения прошла расстояние между двумя пунктами по реке туда и обратно без остановок за мин. Расстояние между пунктами равно 60 км. Найти скорость течения реки.

Решение. Пусть х километров в час — скорость течения реки. Тогда лодка, обладающая собственной скоростью идет по течению со скоростью километров в час, а против течения со скоростью километров в час. Время, затраченное на путь по течению, составит часов, а время, затраченное на обратный путь, составит - часов. Так как на путь туда и обратно затрачено мин, т. е. приходим к уравнению

решая которое, находим два корня: Ясно, что

значение не подходит по смыслу задачи. Итак, скорость течения реки равна 4 км/ч.

Задача 3. Найти двузначное число, зная, что цифра его единиц на 2 больше цифры десятков и что произведение искомого числа на сумму его цифр равно 144.

Решение. Напомним, что любое двузначное число может быть записано в виде где х — цифра десятков, а у — цифра единиц. Согласно условию если х — цифра десятков, то цифра единиц равна и мы получаем

Решив это уравнение, находим . Второй корень не подходит по смыслу задачи.

Итак, цифра десятков равна 2, цифра единиц равна 4; значит, искомое число равно 24.

Задача 4. Двое рабочих, работая вместе, выполнили некоторую работу за . Первый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу на скорее, чем второй рабочий, если последний будет работать отдельно. За сколько часов каждый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу?

Решение. Прежде чем решать эту задачу (или другие аналогичные задачи «на работу»), заметим следующее: производительность труда, т. е. часть работы, выполняемая в единицу времени (обозначим ее через А), и время, необходимое для выполнения всей работы (обозначим его через взаимно обратные величины, т. е. Цоэтому если обозначить через х часов время, необходимое для выполнения всей работы первому рабочему, а через часов — второму, то часть работы, выполняемая первым рабочим за равна а часть работы, выполняемая вторым за равна . Согласно условию они, работая вместе, выполнили всю работу за . Часть работы, выполненная за первым рабочим, есть часть работы, выполненная за вторым рабочим, есть . Поскольку вместе они выполнили всю работу, т. е. доля выполненной работы равна 1, то мы получаем уравнение

решив которое найдем х = 10.

Итак, первый рабочий может выполнить всю работу за второй — за 15 ч.

Задача 5. Из сосуда емкостью наполненного кислотой, вылили несколько литров и долили сосуд водой, потом опять вылили столько же литров смеси. Тогда в оставшейся в сосуде смеси оказалось чистой кислоты. Сколько кислоты вылили в первый раз?

Решение. Пусть в первый раз было вылито х литров кислоты. Тогда в сосуде осталось литров кислоты. Долив сосуд водой, получили смеси, в которой растворилось литров кислоты. Значит, в смеси содержится кислоты (концентрация раствора). Во второй раз из сосуда вылили х литров смеси, в этом количестве смеси содержалось - литров кислоты. Таким образом, в первыи раз было вылито х литров кислоты, во второй литров кислоты, а всего за два раза вылито литров кислоты. В результате приходим к уравнению

Решив это уравнение, найдем два корня: Ясно, что значение 90 не удовлетворяет условию задачи.

Итак, в первый раз было вылито кислоты.

Задача 6. Имеется кусок сплава меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди?

Решение. Пусть масса добавленного олова составляет х килограммов. Тогда получится сплав массой килограммов, содержащий 40% меди. Значит, в новом сплаве имеется килограммов меди. Исходный сплав массой 12 кг содержал 45% меди, т. е. меди в нем было 0,4512 кг. Так как масса меди и в имевшемся, и в новом сплаве одна и та же, то приходим к уравнению

Решив это уравнение, получим Таким образом, к исходному сплаву надо добавить 1,5 кг олова.

Задача 7. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько стали того и другого сорта надо взять, чтобы после переплавки получить стали с содержанием никеля

Решение. Пусть масса стали первого сорта равна тонн, тогда стали второго сорта надо взять тонн. Содержание никеля в стали первого сорта составляет значит, в х тоннах стали первого сорта содержится тонн никеля. Содержание никеля в стали второго сорта составляет значит, в тоннах стали второго сорта содержится тонн никеля. По условию после соединения взятых двух сортов должно получиться стали с 30%-ным содержанием никеля, т. е. после переплавки в полученной стали должно быть никеля. Но это количество никеля складывается из тонн, содержащихся в стали первого сорта, и из тонн, содержащихся в стали второго сорта. Таким образом, приходим к уравнению

из которого находим Следовательно, надо взять стали с 5%-ным и 100 т стали с 40%-ным содержанием никеля.