§ 4. Комплексные числа

44. Понятие о комплексном числе.

Процесс расширения понятия числа от натуральных к действительным был связан как с потребностями практики, так и с нуждами самой математики. Сначала для счета предметов использовались натуральные числа. Затем необходимость выполнения деления привела к понятию дробных положительных чисел; далее, необходимость выполнения вычитания — к понятиям нуля и отрицательных чисел; наконец, необходимость извлечения корней из положительных чисел — к понятию иррациональных чисел. Все перечисленные операции выполнимы на множестве действительных чисел. Однако остались и невыполнимые на этом множестве операции, например извлечение квадратного корня

из отрицательного числа. Значит, имеется потребность в дальнейшем расширении понятия числа, в появлении новых чисел, отличных от действительных.

Геометрически действительные числа изображаются точками на координатной прямой: каждому действительному числу соответствует одна точка прямой («образ» действительного числа) и, обратно, каждая точка координатной прямой соответствует одному действительному числу. Координатная прямая сплошь заполнена образами действительных чисел, т. е., выражаясь фигурально, «на ней нет места для новых чисел». Возникает предположение о том, что геометрические образы новых чисел надо искать уже не на прямой, а на плоскости. Однако каждую точку М координатной плоскости можно отождествить с координатами этой точки. Поэтому естественно в качестве новых чисел — их называют комплексными — ввести упорядоченные пары действительных чисел (упорядоченные в том смысле, что и — разные точки, а значит, и разные числа).

Комплексным числом называется всякая упорядоченная пара действительных чисел

Два комплексных числа называются равными тогда и только тогда, когда