207. Вычисление пределов функций в точке.

Для вычисления пределов функций в точке основными являются следующие факты:

1) любая элементарная функция, т. е. функция, заданная аналитически рациональным (см. п. 48), иррациональным (см. трансцендентным (см. п. 118) выражением или выражением, составленным из перечисленных с помощью конечного числа арифметических операций, непрерывна в любой внутренней точке области определения функции (т. е. в любой точке, принадлежащей области определения функции вместе с некоторой своей окрестностью); если — внутренняя точка области определения сложной функции то и сложная функция непрерывна в точке а;

2) если функция непрерывна в точке то

Пример 1. Вычислить

Решение. Точка — внутренняя точка области определения функции значит Функция непрерывна

в этой точке. Имеем Значит,

Пример 2. Вычислить

Решение. Функция непрерывна в точке Имеем:

Значит,

Пример 3. Вычислить

Решение. Функция не определена в точке так как в этой точке знаменатель дроби обращается в нуль. Поскольку числитель отличен от нуля в точке то пишут: (см. п. 206); прямая является вертикальной асимптотой графика функции

Пример 4. Вычислить .

Решение. Здесь в отличие от предыдущего примера и числитель, и знаменатель обращаются в 0 при . В подобных случаях для вычисления предела необходимы тождественные преобразования выражения, задающего функцию.

Имеем Поскольку при значение функции в самой точке не принимается во внимание (см. п. 205), дробь можно сократить на получим

Пример 5. Вычислить

Решение. При числитель, и знаменатель

обращаются в нуль. Выполним следующие преобразования заданного выражения:

Итак,