17. Обращение бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь.
Чтобы бесконечную десятичную дробь умножить на 10, 100, 1000 и т. д., достаточно, как и в конечной десятичной дроби, перенести запятую на один, два, три и т. д. знака вправо.
Например, 
Обращение периодической десятичной дроби в обыкновенную рассмотрим на примерах.
Пример. Обратить в обыкновенную дробь число: а) 0,(13); б) 2, (273); в) 0,2 (54); г) 3,254 (9).
Решение, а) Положим 
Умножим чистую периодическую дробь х на такое число, чтобы запятая переместилась ровно на период вправо. Поскольку в периоде две цифры, надо перенести запятую на две цифры вправо, а для этого достаточно умножить число х на 100, тогда 
. Теперь вычтем х из 
получим 
Значит, 
откуда находим 
б) Положим 
Эта чистая периодическая дробь содержит три цифры в периоде. Умножив х на 1000, получим 
.
Далее имеем:
в) Положим 
Перенесем в этой смешанной периодической дроби запятую вправо так, чтобы получилась чистая периодическая дробь. Для этого достаточно х умножить на 10, получим 
Положим 
и обратим эту чистую периодическую дробь в обыкновенную так, как мы это делали в предыдущих примерах.
Имеем 
, откуда 
Значит, 
откуда находим 
г) Полагая 
, получим 
. Введем обозначение 
Тогда имеем:
Заметим, что 
, т. е. мы получили конечную десятичную дробь, или бесконечную дробь с нулем в периоде. Значит, 
. Это обстоятельство имеет
место для любых десятичных дробей с девяткой в периоде: такую дробь можно представить в виде дроби с нулем в периоде. Для этого достаточно лишь увеличить на единицу последний десятичный знак перед периодом. Например, 
