23. Геометрическое место точек на плоскости.

Геометрическим местом точек на плоскости называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определенным свойством.

Т.1.29. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки.

На рисунке 71 к отрезку проведен серединный перпендикуляр СС. Т.1.29 утверждает, что: а) каждая точка прямой равноудалена от А и В; б) каждая точка плоскости, равноудаленная от А и Б, лежит на прямой

Ниже перечислены несколько геометрических мест точек на плоскости.

1. Геометрическое место точек, находящихся на данном расстоянии от данной точки, есть окружность с центром в этой точке и радиусом, равным данному расстоянию.

2. Геометрическое место точек, находящихся на данном расстоянии от данной прямой, состоит из двух прямых, каждая из которых параллельна данной и отстоит от нее на данное расстояние.

3. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, состоит из двух прямых, на которых лежат биссектрисы всех углов, полученных при пересечении данных прямых.

4. Геометрическое место точек, из которых отрезок виден под данным углом а и которые лежат по одну сторону от прямой А Б, есть дуга окружности с концами в точках А и Б.

Метод геометрических мест, применяемый при решении задач на построение, основан на следующем.

Пусть нам надо построить точку X, удовлетворяющую двум условиям. Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, есть фигура геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию, есть фигура Искомая точка X принадлежит , т. е. является их общей точкой.

Пример 1. Построить по периметру , углу Б, равному , и высоте , опущенной из вершины А.

Решение. Пусть задача решена и построен (рис. 72). Отложив на прямой отрезки получим равнобедренные треугольники

Исходя из приведенных выше рассуждений построение можно осуществить в следующей последовательности:

1) Проводим прямую и на ней откладываем отрезок

2) На расстоянии от прямой проводим прямую параллельную

3) С вершиной в точке D строим угол равный Точка

А — одна из вершин искомого треугольника.

4) Проводим серединные перпендикуляры к отрезкам Точки В и С пересечения этих серединных перпендикуляров с прямой — две другие вершины искомого треугольника.

Доказательство того, что искомый, проводим так: высота этого треугольника равна по построению, равнобедренный, — внешний угол этого треугольника, см. Т. 1. 22), по построению.

Пример 2. Построить окружность, касающуюся сторон данного угла, причем одной из них в данной точке К.

Решение. Пусть задача решена и окружность с центром О искомая. Центр окружности — точка О принадлежит, с одной стороны, биссектрисе данного угла, а с другой — перпендикуляру проведенному к прямой в данной точке К (рис. 73).

Порядок построения таков:

1) Проводим биссектрису данного угла

2) Из точки К к стороне угла проводим перпендикуляр

3) Из точки О пересечения как из центра проводим радиусом, равным окружность.

Построенная окружность искомая.