76. Понятие движения.

Свойства движений. Определение движения одинаково и в плоскости, и в пространстве. Преобразование фигуры F в фигуру называется движением, если оно сохраняет расстояние между точками, т. е. переводит любые две точки А и В фигуры F в точки фигуры так, что Рассмотренные в симметрии относительно точки, прямой и плоскости являются движениями.

Т.5.1. Преобразование симметрии относительно точки является движением.

Т.5.2. Преобразование симметрии относительно прямой является движением.

Т.5.3. Преобразование симметрии относительно плоскости является движением.

Сформулируем некоторые свойства движения.

Т.5.4. При движении точки, лежащие на прямой, переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.

Из теоремы 5.4 следует, что при движении прямые переходят в прямые, полупрямые — в полупрямые, отрезки — в отрезки.

При движении сохраняются углы между полупрямыми. При движении плоскость переходит в плоскость.

Рассмотрим еще два движения — поворот на плоскости и вращение вокруг оси в пространстве.

Поворотом на плоскости около данной точки называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из данной точки, поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении (по часовой стрелке или против часовой стрелки). На рисунке повернут на 60° по часовой стрелке около данной токи О. Углы между лучами О А и и равны 60°.

Вращением вокруг оси на угол называется преобразование пространства, при котором:

1) имеется единственная прямая все точки которой переходят сами в себя;

2) любая точка А, не принадлежащая переходит в такую точку

а) точки А и лежат в плоскости а, перпендикулярной I;

является постоянным по величине и направлению (точка О есть точка пересечения плоскости а с осью

Прямую называют осью вращения, угол — углом вращения (рис. 221).

Неподвижными элементами вращения являются точки оси вращения, а также все плоскости, перпендикулярные этой оси. Если то вращение можно считать тождественным преобразованием.

Симметрию относительно прямой можно рассматривать как частный случай вращения, когда

Два движения, выполненные последовательно, дают снова движение. Результат выполнения этих движений называется композицией движений.

На рисунке 222 изображено последовательное выполнение двух движений, фигура получена из фигуры F симметрией относительно оси , а фигура получена из фигуры симметрией относительно точки О, в результате последовательного выполнения этих движений сохранились расстояния между соответствующими точками, а значит, фигура получена из фигуры F движением.

Композиция двух вращений с одной и той же осью есть вращение.

Пусть преобразование фигуры F в фигуру переводит различные точки фигуры F в различные точки фигуры Пусть произвольная точка X фигуры F при этом преобразовании переходит в точку фигуры Преобразование фигуры в фигуру при котором точка перейдет в точку X, называется преобразованием, обратным данному. Преобразование, обратное движению, является также движением.

Как на плоскости, так и в пространстве рассматриваются равные фигуры. Фигуры называются равными, если они движением переводятся одна в другую. Для обозначения равенства фигур употребляется знак равенства. Запись означает, что фигура F равна

На рисунке 213 шары симметричны относительно плоскости, а значит, они равны. На рисунке 205 кубы симметричны относительно точки, а значит, они равны. На рисунке 222 треугольники равны, так как все они получены один из другого в результате движения.

Пример 1. На рисунке 223 изображены два треугольника у которых Доказать, что эти треугольники совмещаются движением, причем вершина А переходит в вершину

Решение. Решение задачи зависит от расположения треугольников.

1) На рисунке 223, а изображен один из возможных вариантов. получен из при симметрии относительно серединного перпендикуляра к отрезку получен из при симметрии относительно прямой, соединяющей точку с серединой отрезка Мы знаем, что последовательное выполнение движений есть движение. Таким образом, получен из движением.

2) На рисунке 223,6 изображен другой вариант. получен из параллельным переносом (см. в направлении, заданном лучом на расстояние Далее, получен из поворотом на угол а против часовой стрелки. Вывод аналогичен первому случаю.

Пример 2. Даны две концентрические окружности. Построить ромб, отличный от квадрата, так, чтобы: 1) две вершины его принадлежали одной окружности, а две оставшиеся — другой; 2) три вершины принадлежали одной окружности, а одна — другой.

Решение. 1) Построим любой диаметр одной окружности и перпендикулярный ему диаметр другой окружности (рис. 224, а). Диагонали полученного четырехугольника в точке пересечения делятся пополам, значит, — параллелограмм Из симметрии отрезков относительно оси следует равенство сторон параллелограмма, т. е. — ромб

2) Диаметр меньшей окружности продолжим до пересечения в точке С с большей окружностью. Построим оси симметрии отрезков (рис. 224, б). Мы получим два ромба, удовлетворяющие условию задачи: Доказательство правильности построения проведите самостоятельно.

Аналогично можно в первом случае построить еще один ромб, а во втором — еще два.

Пример 3. Даны плоскость а и две точки А и В вне ее. Найдите на плоскости а такую точку N, чтобы сумма ее расстояний от А и В, т. е. была наименьшей.

Решение. Если точки А и В расположены по разные стороны от плоскости а, то очевидно, что искомая точка N —

точка пересечения прямой с плоскостью а (рис. 225, а).

Если же точки А и В расположены по одну сторону от плоскости а (рис, 225, б), то искомая точка N получится при пересечении прямой с плоскостью а, где — точка, симметричная точке А относительно плоскости а. Докажем, что точка N искомая. N находится на прямой которая перпендикулярна отрезку и проходит через его середину поэтому отсюда Возьмем на плоскости а произвольную точку К, отличную от N (рис. 225, б). Соединив точки и К, получим отрезок перпендикулярный отрезку и проходящий через его середину поэтому Отсюда вытекает, что Из имеем, что Так как то ясно, что

Таким образом, приходим к выводу, что сумма имеет наименьшее значение, и, следовательно, N — искомая точка.