180. Неравенства второй степени.

Здесь речь идет о неравенствах вида или , где .

Т.6.6. Если дискриминант квадратного трехчлена отрицателен, а старший коэффициент а положителен, то при всех значениях х выполняется неравенство

Рассмотрим теперь случай, когда . Для решения неравенства нужно разложить квадратный трехчлен на множители по формуле затем разделить обе части неравенства а на число , сохранив знак неравенства, если и изменив знак неравенства на противоположный, если , т. е. перейти к неравенству Теперь остается воспользоваться тем, что произведение двух чисел положительно (отрицательно), если сомножители имеют одинаковые (разные) знаки. Решить неравенство . Решение. Найдем корни трехчлена Из уравнения получаем . Значит, и мы приходим к неравенству и далее Выражения должны иметь одинаковые знаки, т. е.

Из первой системы находим, что из второй, что

Пример 2. Решить неравенство . Решение. Преобразуем неравенство к виду умножив обе части последнего неравенства на — 1, получим Корни квадратного трехчлена таковы: Разложим трехчлен на множители, в результате чего получим неравенство и далее От последнего неравенства переходим к совокупности систем неравенств:

Первая система не имеет решений, а из второй находим, что

Пример 3. Решить неравенство

Решение. Квадратный трехчлен имеет два одинаковых корня: Значит, и неравенство принимает вид Это неравенство выполняется при всех х, кроме

Пример 4. Решить неравенство

Решение. Последовательно имеем откуда

Из первой системы получаем из второй