197. Свойства арифметической прогрессии

1°. Формула члена арифметической прогрессии:

2°. Формулы суммы первых членов арифметической прогрессии:

Здесь

3°. Характеристическое свойство арифметической прогрессии: последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной арифметической прогрессии), равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов:

Пример 1. Бегун за первую минуту бега пробежал в каждую следующую минуту пробегал на меньше, чем в предыдущую. Какой путь пробежал он за 1 ч?

Решение. За первую минуту бегун пробежал за вторую — за третью Числа образуют арифметическую прогрессию, у которой Путь за т. е. за 60 мин, равен сумме первых 60 членов прогрессии. Применив формулу (2), получим:

Итак, за бегун пробежит 15 км

Пример 2. При делении члена арифметической прогрессии на ее 3-й член в частном получается 3, а при делении члена на 7-й член в частном получается 2 и в остатке 8. Найти 20-й член прогрессии.

Решение. Из условия следует, что , а (см. п. 3). По формуле члена имеем

и приходим к системе двух уравнений с двумя переменными

Решая эту систему, получаем:

откуда Зная нетрудно найти