165. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом сложения.

Метод сложения основан на теоремах 5.5 и 5.6 (п. 163). Суть его поясним на примерах.

Пример 1. Решить систему уравнений

Решение. Умножив обе части второго уравнения системы на 3, получим систему

равносильную данной по теореме 5.5.

Сложим теперь оба уравнения полученной системы. По теореме 5.6 система

равносильна системе (2). Система (3), в свою очередь, преобразуется к виду

Из уравнения находим . Подставив это значение в уравнение находим

Итак, решение системы (3), а значит, и решение равносильной ей системы (1).

Пример 2. Решить систему уравнений

Решение. Если обе части первого уравнения системы умножить на 2 и вычесть полученное уравнение из второго уравнения системы, то взаимно уничтожатся члены, содержащие переменные во второй степени:

Мы приходим к более простой системе

которую нетрудно решить методом подстановки. Имеем значит,

Если , то если , то

Ответ: (0; — 1) и (1,5; 0,5).

166. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом введения новых переменных. Метод введения новых переменных применяется при решении систем двух уравнений с двумя переменными одним из следующих способов: 1) вводится одна новая переменная только для одного уравнения системы; 2) вводятся две новые переменные сразу для обоих уравнений.

Пример 1. Решить систему

Решение. Положим тогда и первое уравнение системы примет вид . Решим полученное уравнение относительно новой переменной

Таким образом, либо либо

Итак, первое уравнение заданной системы распалось на два уравнения: . В соответствии с этим нам предстоит теперь решить совокупность двух систем:

Из первой системы находим из второй . Ответ: (2; 3) и (3; 2).

Пример 2. Решить систему уравнений

Решение. Положим Тогда и система примет вид

Полученную систему можно решить методом подстановки. Выразив из второго уравнения через и, получим и, подставив результат в первое уравнение, получим

Соответственно находим .

Итак, нашли два решения системы (1):

Возвращаясь к исходным переменным, получим совокупность двух систем:

каждую из которых нетрудно решить методом подстановки

(выразив, например, у через х из первого уравнения). Первая система не имеет действительных решений, а вторая имеет два решения: (3; 4) и (4; 3). Они и будут решениями исходной системы.