223. Общая схема построения графика функции.

Пусть нужно построить график функции . Для этого нужно рассмотреть некоторые свойства функции, что обычно сопровождается соответствующей иллюстрацией на координатной плоскости. Это помогает создать графический образ функции и обратно: графические представления помогают лучше понять свойства функции, а иногда и предвидеть их. Для этого полезно придерживаться следующего плана:

1) Найти область определения функции

2) Найти точки, в которых (это будут точки пересечения графика с осью абсцисс).

3) Отметить на оси х точки, найденные в и точки, в которых функция не определена, найденные в эти точки разбивают ось абсцисс на несколько промежутков, на каждом из которых функция сохраняет постоянный знак. Установить знак функции на каждом из промежутков.

4) Исследовать функцию на четность и нечетность (в случае четности или нечетности функции можно ограничиться исследованием и построением графика при затем воспользоваться симметрией графика — см. п. 74, 75).

5) Найти вертикальные и горизонтальные асимптоты (см. п. 203, 206).

6) Исследовать функцию на экстремумы.

7) Найти несколько дополнительных контрольных точек и построить график.

Для периодических функций полезно с самого начала найти основной период Т (см. п. 76), с тем чтобы, исследовав функцию и построив ветвь графика на промежутке построить затем, воспользовавшись периодичностью, весь график.

Если выполнение каких-либо шагов предложенной схемы сопряжено с техническими трудностями, их иногда можно опустить.

Пример. Построить график функции . Решение. 1) Функция определена при всех х.

2) Из уравнения находим

3) Точки —2; 0; 2 разбивают ось абсцисс на 4 промежутка. Изменение знаков функции на промежутках отражено на рисунке 117. Соответствующая иллюстрация на координатной плоскости представлена на рисунке 118, а (заштрихованы те полуполосы, где графика не будет).

значит, функция нечетна, ее график симметричен относительно начала координат.

5) Асимптот у графика нет.

Точка — принадлежит отрезку [0; 2], из рисунка 118, а ясно, что в этой точке функция будет иметь минимум (здесь мы как раз имеем тот случай, когда графические представления позволяют сделать вывод о свойствах функции).

Аналогично в точке функция имеет максимум:

7) В качестве дополнительных возьмем две точки Имеем

Использовав найденные 7 точек, строим график функции (рис. 118, б).

Пример 2. Построить график функции

Решение. 1) Область определения:

2) Из уравнения находим

3) Точки 2, —2, 3, —3 разбивают ось абсцисс на 5 промежутков. Изменение знаков функции по промежуткам представлено на рисунке 119, соответствующая иллюстрация на координатной плоскости дана на рисунке 120,а.

4) Функция четна, так как Значит, график функции симметричен относительно оси ординат.

— вертикальные асимптоты (см. п. 206).

Чтобы найти горизонтальную асимптоту, вычислим . Для этого числитель и знаменатель дроби разделим почленно на (см. п. 204).

Получим

Итак, значит, — горизонтальная асимптота графика функции (см. п. 203).

Производная обращается в нуль в точке и не существует в точках . Но эти последние не принадлежат области определения функции, значит, функция имеет лишь одну критическую точку . При переходе через эту точку производная меняет знак с на значит, точка минимума:

7) В качестве дополнительных возьмем следующие точки: Имеем

Использовав найденные 7 точек, строим график функции (рис. 120, б).