217. Применение производной к исследованию функций на экстремум.

Говорят, что функция имеет максимум (минимум) в точке если у этой точки существует окрестность, в которой для

Так, функция, график которой изображен на рисунке 109, имеет максимум в точках и минимум в точках и 4.

Точки максимума и минимума объединяются общим термином — точки экстремума.

Обратимся еще раз к рисунку 109. Замечаем, что в точках к графику функции можно провести касательные, причем эти касательные будут параллельны оси значит, угловой коэффициент каждой из касательных равен нулю; итак, . В точках же к графику касательной провести нельзя, значит, в этих точках производная функции не существует (см. п. 215). Таким образом, в точках экстремума на рисунке 109 производная либо равна нулю, либо

не существует. Это — общее положение, подтверждаемое следующей теоремой:

Т.7.3. Если функция имеет экстремум в точке то либо либо не существует (необходимое условие экстремума);

Точки, в которых или не существует и которые принадлежат области определения функции, называются критическими. Теорема 7.3 означает, что экстремумы функций могут достигаться только в критических точках. Обратная теорема, однако, неверна: не во всякой критической точке функция имеет экстремум. Так, функция имеет одну критическую точку (в этой точке но в этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума. Функция, график которой изображен на рисунке 110, имеет критическую точку — это точка излома, в ней у не существует, но в этой точке нет ни максимума, ни минимума.

Как узнать, когда критическая точка функции является точкой экстремума? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема:

Т.7.4. Пусть — критическая точка функции и пусть существует интервал , содержащий точку а внутри себя и такой, что на каждом из интервалов и производная существует и сохраняет постоянный знак. Тогда:

1) если на производная на производная то — точка максимума функции

2) если на производная на производная то — точка минимума функции

3) если и на , и на производная или то не является точкой экстремума функции (достаточное условие экстремума).

Из теорем 7.3 и 7.4 вытекает следующее правило исследования функции на экстремум:

1) Найти область определения функции.

2) Найти

3) Найти точки, в которых выполняется равенство

4) Найти точки, в которых не существует.

5) Отметить на координатной прямой все критические точки и область определения функции получатся промежутки области определения функции, на каждом из которых производная функции сохраняет постоянный знак.

6) Определить знак у на каждом из промежутков, полученных в п. 5.

7) Сделать выводы о наличии или отсутствии экстремума в каждой из критических точек в соответствии с теоремой 7.4.

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию

Решение. 1) Функция определена при всех х.

3) Из уравнения находим

4) у существует при всех х.

5) Отметим точки на координатной прямой (рис. 111).

Знаки производной на полученных промежутках отмечены на рисунке 111.

7) При переходе через точку слева направо производная у меняет знак с на значит, — точка максимума; при переходе через точку производная меняет знак с на значит, точка минимума. В точке имеем в точке имеем

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию

Решение. 1) Область определения функции задается неравенством

3) В области определения функции, т. е. при критических точек и тем более точек экстремума у функции нет.

Пример 3. Исследовать на экстремум функцию

Решение. 1) Область определения:

4) у не существует при но эта точка не принадлежит области определения функции.

5) Отметим на координатной прямой критические точки и точку (рис. 112).

6) Знаки производной на полученных промежутках отмечены на рисунке 112.

точка максимума, — точка минимума,