§ 10. Перпендикулярность прямых и плоскостей

44. Перпендикулярность прямой и плоскости.

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в плоскости, проходящей через точку пересечения данной прямой и плоскости.

На рисунке 131 изображена прямая а, перпендикулярная плоскости а.

Т.2.9. Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения, то она перпендикулярна плоскости.

Эту теорему называют признаком перпендикулярности прямой и плоскости или теоремой о двух перпендикулярах.

На рисунке 132 изображена прямая а, перпендикулярная прямым с и проходящим через точку пересечения плоскости а и прямой а и лежащим в плоскости а. По можно утверждать, что .

В следующих двух теоремах говорится о взаимосвязи параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей.

Т.2.10. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Т. 2.11. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

На рисунке 133 изображены такие прямые а и и плоскость а, о которых говорится в теоремах 2.10 и 2.11.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость.

На рисунке 134 изображены плоскость а и прямая а, которая

ее пересекает. Прямая а есть проекция прямой а на плоскость а. Тогда угол есть угол между прямой а и плоскостью а. Угол между параллельными прямой и плоскостью считается равным дулю, а угол между перпендикулярными прямой и плоскостью — равным 90°. Так как прямая а, ее проекция а на плоскость а и перпендикуляр к плоскости а в точке ее пересечения с прямой а лежат в одной плоскости, то угол между прямой и плоскостью дополняет до 90° угол между этой прямой и перпендикуляром к плоскости.

Пример. Отрезок длиной 10 см пересекает плоскость, причем концы его находятся на расстоянии 3 и 2 см от плоскости. Найти угол между данным отрезком и плоскостью.

Решение. Опускаем из точки А (рис. 135) перпендикуляр на плоскость а. Через две пересекающиеся прямые проводим плоскость , которая пересечет плоскость а по прямой . Опускаем в плоскости перпендикуляр на прямую Получаем (докажите самостоятельно). По условию см, поэтому

Итак, в катет см, т. е. равен половине гипотенузы см, следовательно, он лежит против угла 30°, откуда .