83. Умножение вектора на число. Коллинеарные векторы.

Произведением вектора и числа X называется вектор

Из определения операции умножения вектора на число следует, что для любого вектора а и чисел

Для любых двух векторов а и и числа

Т.6.3. Абсолютная величина вектора равна

Направление вектора при совпадает с направлением вектора а, если и противоположно направлению вектора а, если

Вектор называется единичным, если его абсолютная величина равна единице. Единичные векторы, имеющие направление положительных координатных полуосей, называются координатными векторами или ортами.

Координатные векторы на плоскости принято называть на оси на оси у. Любой вектор представляется в виде

Произведением вектора в пространстве и числа К называется вектор Так же как и на плоскости, абсолютная величина вектора равна направление совпадает с направлением вектора а если и противоположно направлению вектора а, если

Для вектора в пространстве имеет место разложение:

где — координатные векторы.

Два отличных от нуля вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. На рисунке 238 векторы а и и с коллинеарные.

Т.6.4. У коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны. И обратно: если у двух векторов соответствующие координаты пропорциональны, то векторы коллинеарны.

Пример 1. Доказать, что средняя линия треугольника параллельна его третьей стороне и равна половине этой стороны.

Решение. Рассмотрим (рис. 239). Пусть . Тогда по правилу треугольника

Пусть М и N — середины сторон треугольника тогда

Так как то Таким образом, сонаправлен с следовательно, Так как то

Пример 2. Коллинеарны ли следующие векторы:

Решение, а) Координаты вектора пропорциональны координатам вектора , так как Поэтому и, следовательно, векторы коллинеарны.

б) Координаты вектора с не пропорциональны координатам вектора например, поэтому векторы с и не коллинеарны. В самом деле, если предположить, что векторы коллинеарны, то существует число такое, что Но в таком случае координаты вектора с пропорциональны координатам вектора что противоречит условию задачи.

Остальные случаи рассматриваются аналогично.