57. Геометрическое место точек в пространстве.

Геометрическим местом точек в пространстве называется фигура, которая состоит из всех точек пространства, обладающих определенным свойством.

Перечислим несколько геометрических мест точек в пространстве.

1. Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных точек А и В, является плоскость а, перпендикулярная прямой и проходящая через середину отрезка

2. Геометрическим местом точек, отстоящих от данной плоскости а на расстоянии являются две плоскости, параллельные данной плоскости и находящиеся от нее на расстоянии

3. Геометрическим местом точек, удаленных на данном расстоянии от данной точки О, является сфера с центром в точке О и радиусом

Пример 1. Найти в пространстве геометрическое место точек, равноудаленных от трех данных точек, не лежащих на одной прямой.

Решение. 1-й способ (рис. 178). Три данные точки А, В и С определяют плоскость а, в которой лежит Мы знаем, что геометрическое место точек, равноудаленных от точек А и В, есть плоскость Р, перпендикулярная отрезку и проходящая через середину D стороны аналогично для точек В и С таким геометрическим местом точек будет плоскость Точки, принадлежащие линии пересечения плоскостей находятся на одинаковом расстоянии от точек А, В и С. Прямая — искомое геометрическое место точек.

Точка О пересечения прямой с плоскостью а принадлежит геометрическому месту, следовательно, она находится на равном расстоянии от точек А, В и С и является центром окружности, описанной около треугольника Далее, так как то откуда

Вывод: искомое геометрическое место точек — прямая, перпендикулярная плоскости, определяемой данными точками А, В и С, и проходящая через центр окружности, описанной около

2-й способ (рис. 179). Пусть М — одна из точек искомого геометрического места точек, т. е. Наклонные равны, следовательно, равны и их проекции на плоскость а, т. е.

Отсюда следует: 1) О — центр окружности, описанной около точки геометрического места проектируются в одну и ту же точку на плоскости а, следовательно, все они

лежат на перпендикуляре к плоскости а, проходящем через точку О.

Пример 2. Найти в пространстве геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных пересекающихся прямых.

Решение. Пусть — данные прямые (рис. 180), Р — плоскость, ими определяемая. Пусть М — произвольная точка искомого геометрического места, т. е. Опустим перпендикуляр на плоскость Р; тогда как проекции равных наклонных на плоскость Р. Прямые соответственно перпендикулярны наклонным, следовательно, они перпендикулярны их проекциям, т. е. . Мы видим, что проекция произвольной точки геометрического места точек на плоскость Р, определяемую данными прямыми, находится на одинаковом расстоянии от Как известно, геометрическим местом точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых на плоскости, являются две прямые которые делят углы, образованные данными прямыми пополам. Все точки перпендикуляра очевидно, принадлежат геометрическому месту точек. Построим плоскость через прямые Эта плоскость по Т. 2.9 перпендикулярна плоскости Р. Все точки плоскости принадлежат искомому геометрическому месту точек.

Аналогично доказывается, что точки искомого геометрического места лежат также и на плоскости перпендикулярной плоскости Р. Плоскости перпендикулярны между собой, так как линейные углы прямые.

Итак, искомым геометрическим местом точек являются две плоскости перпендикулярные плоскости Р, причем плоскости перпендикулярны между собой и делят углы между данными прямыми пополам.