220. Задачи на отыскание наибольших или наименьших значений величин.

Задачи на отыскание наибольших или наименьших значений величин удобно решать по следующему плану:

1) Выявляют оптимизируемую величину (т. е. величину, наибольшее или наименьшее значение которой требуется найти) и обозначают ее буквой у (или и т. д. в зависимости от сюжета задачи).

2) Одну из неизвестных величин (сторону, угол и т. объявляют независимой переменной и обозначают буквой устанавливают реальные границы изменения х в соответствии с условиями задачи.

3) Исходя из конкретных условий данной задачи выражают у через х и известные величины.

4) Для полученной на предыдущем этапе функции находят наибольшее или наименьшее значение (в зависимости от требований задачи) по промежутку реального изменения х, найденному в

5) Интерпретируют результат п. 4 для данной конкретной задачи.

На первых трех этапах составляется, как принято говорить, математическая модель задачи. Здесь часто успех решения зависит от разумного выбора независимой переменной. Важно, чтобы было сравнительно нетрудно выразить у через х. На четвертом этапе составленная математическая модель исследуется

чаще всего с помощью производной, реже элементарным способом. В момент такого исследования сюжет самой задачи, послужившей отправной точкой для математической модели, исследователя не интересует. И лишь когда закончится решение задачи в рамках составленной математической модели, полученный результат интерпретируется для исходной задачи (пятый этап).

Пример 1. В степи, в 9 км к северу от шоссе, идущего с запада на восток, находится поисковая партия. В 15 км к востоку от ближайшей к поисковой партии точки, лежащей на шоссе, находится райцентр. Поисковая партия отправляет курьера-велосипедиста в райцентр. Каков должен быть маршрут следования курьера, чтобы он прибыл в райцентр в кратчайший срок, если известно, что по степи он едет со скоростью 8 км/ч, а по шоссе 10 км/ч?

Решение. Сделаем чертеж. На рисунке 115 точка Р означает местонахождение поисковой партии, прямая I — шоссе, В — райцентр, км, км, — маршрут следования курьера, причем положение точки М между А и Б пока неизвестно.

1) Оптимизируемая величина — время движения курьера из Р в В; надо найти

2) Положим По смыслу задачи точка М может занять любое положение между А и Б, не исключая самих точек А и Б. Значит, реальные границы изменения х таковы:

3) Выразим через х. Имеем . Этот путь велосипедист едет со скоростью , т. е. время затраченное на этот путь, выражается формулой Далее, Этот путь велосипедист едет

со скоростью 10 км/ч, т. е. время затраченное на этот путь, выражается формулой Суммарное время затраченное на весь путь, равно

4) Нужно найти наименьшее значение функции на отрезке [0; 15]. Используем для этого план из п. 218.

существует при всех х. Найдем точки, в которых Имеем

Значение принадлежит отрезку [0; 15].

3) Составим таблицу значений функции, куда включим значения функции на концах отрезка и в найденной критической точке.

Четвертый этап решения задачи закончен, нам осталось интерпретировать полученный результат применительно к исходной задаче.

5) достигается при . Значит, велосипедисту надо ехать по такому маршруту чтобы расстояние между точками А и М по шоссе было равно 12 км.

Пример 2. Через фиксированную точку М внутри угла провести прямую, отсекающую от угла треугольник наименьшей площади (рис. 116).

Решение.

1) Оптимизируемая величина — площадь треугольника

2) Проведем . Положим реальные границы изменения х таковы:

3) Поскольку М — фиксированная точка, отрезки и тоже фиксированны; положим и выразим через х,

Рассмотрим треугольники и они подобны, значит т. е. находим

Далее имеем , где

Значит, - (математическая модель задачи составлена).

4) Рассмотрим функцию где Найдем ее наименьшее значение.

2. Производная не существует в точке обращается в нуль в точках Из этих трех точек промежутку принадлежит лишь точка

3. И при и при Значит, наименьшее значение функции достигается в точке

5) Вернемся к исходной геометрической задаче. Если то, поскольку — средняя линия треугольника значит, М — середина АВ. Таким образом, чтобы от сторон угла отсечь треугольник наименьшей площади, надо провести через точку М прямую так, чтобы ее отрезок, заключенный между сторонами угла, делился в точке М пополам.