215. Касательная к графику функции.

Касательной к графику функции дифференцируемой в точке называется прямая, проходящая через точку и имеющая угловой коэффициент . Геометрический смысл этого определения состоит в следующем. Рассмотрим график функции дифференцируемой в точке а, выделим на нем точку и проведем секущую где — точка графика, соответствующая значению аргумента (рис. 104, а). Угловой коэффициент прямой вычисляется по формуле (см. ).

Если точку Р двигать по графику, приближая ее к точке М, то прямая начнет поворачиваться вокруг точки М. Чаще всего в этом процессе секущая стремится занять некоторое предельное положение. Это предельное положение представляет собой прямую, с которой практически сливается график функции в некоторой окрестности точки а; эта прямая и есть касательная к графику функции в точке . В самом деле, угловой коэффициент такой предельной прямой (обозначим его к) получается из углового коэффициента секущей в процессе предельного перехода от Р к М:

Но условие можно заменить условием вместо йсек написать. В итоге получаем:

Но значение производной функции в фиксированной точке (см. п. 209).

Итак, , т. е. значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции точке (рис. 104, б). В этом состоит геометрический смысл производной.

Если функция дифференцируема в точке то в этой точке к графику можно провести касательную; верно и обратное: если в точке к графику функций можно провести невертикальную касательную, то функция дифференцируема в точке х.

Это позволяет по графику функции находить точки, в которых функция имеет или не имеет производную. Так, функция, график которой изображен на рисунке 105, дифференцируема во всех точках, кроме точки в этой точке график имеет заострение и касательную провести нельзя.

Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид:

Пример 1. Составить уравнение касательной к графику функции в точке

Решение. Имеем Подставив найденные значения в уравнение (1), получим:

Пример 2. Найти угол, который образует с осью х касательная к графику функции проведенная в точке

Решение. Имеем Значит, откуда заключаем, что искомый угол а равен 60°.

Пример 3. К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой

Решение. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны (рис. 106). Угловой коэффициент заданной прямой равен —1, а угловой коэффициент касательной равен . Значит, точку касания мы можем найти из уравнения

Имеем

Решим уравнение Имеем , значит, либо откуда либо откуда

Если то и уравнение касательной имеет вид

Если то и уравнение касательной имеет вид .

Пример 4. Через точку провести касательную к графику функции

Решение. Здесь, как и в предыдущем примере, неизвестна точка касания Чтобы ее найти, составим уравнение касательной в общем виде. Имеем значит, и уравнение касательной имеет вид:

По условию касательная должна проходить через точку т. е. координаты точки должны удовлетворять уравнению (2). Подставив в уравнение (2), получим откуда . Если теперь в уравнение (2) подставить найденное значение точки касания получим

Это — уравнение искомой касательной (рис. 107).