20. Окружности, вписанные в треугольник и описанные около треугольника.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Т.1.27. Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

На рисунке 61 окружность описана около треугольника Центр этой окружности О является точкой пересечения серединных перпендикуляров проведенных соответственно к сторонам

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Т. 1. 28. Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.

На рисунке 62 окружность вписана в треугольник Центр этой окружности О является точкой пересечения биссектрис соответствующих углов треугольника.

Пример. В прямоугольном треугольнике катеты равны 12 и 16 см. Вычислить радиусы: 1) вписанной в него окружности; 2) описанной окружности.

Решение. 1) Пусть дан треугольник в котором — центр вписанной окружности (рис. 63, а). Периметр треугольника равен сумме удвоенной гипотенузы и диаметра вписанной в треугольник окружности (используйте определение касательной к окружности и равенство прямоугольных треугольников и по гипотенузе и катету).

Таким образом, откуда

см по теореме Пифагора см, т. е. см.

2) Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности совпадает с серединой гипотенузы, откуда радиус описанной окружности см (рис. 63, б).