АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ

— классы алгебр универсальных, сигнатуры которых состоят из одной или двух бинарных операций и произвольного числа унарных (внешних) операций, называемых операторами (унарные операции могут и отсутствовать). Бинарные операции при этом удовлетворяют законам, похожим на те, которым удовлетворяют операции сложения и умножения в различных областях чисел (натуральных, целых, рациональных, действительных и т. д.). Такие законы либо являются тождествами (напр., ассоциативный, коммутативный, дистрибутивный законы), либо утверждают обратимость операций. Термин А. с. предложен Н. Бурбаки (псевдоним группы франц. математиков).

В ходе истор. развития математики понятие числа расширялось и обобщалось. С добавлением к натуральным числам нуля и отрицательных чисел образовалась область целых чисел; присоединение дробных чисел привело к числам рациональным. Измерения в геометрии и проблемы анализа привели к формированию понятия действительного числа. Задачи решения ур-ний высших степеней потребовали построения комплексных чисел. Это последовательное расширение понятия числа осуществлялось при сохранении осн. свойств фундаментальных операций сложения и умножения (т. н. принцип Ганкеля). В 19 в. широкое применение математики в механике и физике, а также внутриматем. потребности привели к созданию систем объектов различной (не обязательно числовой) природы, внутри которых естественным образом осуществлялись бинарные операции, похожие на сложение и умножение в числовых совокупностях. Сюда относятся такие разделы, как векторная и тензорная алгебры, различные системы гиперкомплексных чисел (кватернионы Гамильтона и внешняя алгебра Грасмана), матричная алгебра, исчисление подстановок и преобразований и др. В таких системах бинарные операции, соответствующие сложению и умножению, сохраняли обычно не все, а только некоторые из привычных свойств. Так, напр., при умножении матриц, а также при умножении подстановок коммутативный закон не выполняется. Утверждение, что произведение двух элементов равно нулю, только тогда, когда один из сомножителей равен нулю, может оказаться неверным, напр., при умножении матриц или ф-ций. Вместе с тем замечено, что для исчисления объектов иногда совсем различной природы имеет место далеко идущий параллелизм (напр., для рациональных операций в области целых чисел — с одной стороны и в области полиномов от одной переменной — с другой). Такой параллелизм является результатом выполнения одинаковых законов для осн. операций. Во 2-й пол. 19 в. из-за этого полностью были переосмыслены осн. задачи алгебры. С точки зрения алгебры изоморфные области не различаются, поэтому для нее важнее то, как осуществляются операции над объектами, а не то, над какими объектами они осуществляются. В общем случае эта точка зрения наш свое отражение в понятиях универсальной алгебры и моделей теории. Но на практике алгебра чаще оперирует не с произвольными универсальными алгебрами, а с такими, которые традиционно сложились в обобщении числовых областей с бинарными операциями сложения и умножения, т. е. с А. с. Исследования самых общих универсальных алгебр и моделей частично примыкают скорее всего к области логики математической.

Если на некотором мн-ве М определена одна бинарная операция ее наз. композицией или умножением. Произведение элементов а, b обозначают тогда а Для так определенной универсальной алгебры могут выполняться или не выполняться следующие законы-тождества. Во-первых, ассоциативный закон: а с (для всех ). Во-вторых, коммутативный закон: . Если на некотором мн-ве М определены две бинарные операции, то обычно одну из них считают сложением, другую — умножением. Обозначают их символами а саму универсальную алгебру

М обозначают Конечно, возможно выполнение ассоциативного и коммутативного законов как для сложения, так и для умножения или для одного из них.

В-третьих, сложение и умножение обычно связываются тождеством а называемым дистрибутивным (или распределительным) законом. В может иногда существовать элемент , такой, что для всех . Такой элемент наз. нейтральным алгебрах его наз. для сложения нулем (0), для умножения — единицей (1).

В-четвертых, существование в нейтрального элемента (а в соответственно нуля или единицы) — аксиома, которая также может выполняться в А. с. В-пятых, важным свойством бинарных операций является обратимость (или частичная обратимость). Правая обратимость: для всех а, ур-ние имеет решение (левая обратимость — разрешимость ур-ния Двусторонняя обратимость равносильна существованию обратного элемента а такого, что

В-шестых, более слабое требование: из следует (соответственно: из следует законом сокращения.

Выполнимость некоторых из перечисленных выше аксиом определяет различные А. с. Часть из этих А. с. особенно важна в теории и практич. применениях, в частности, в кибернетике. Они получили особые наименования, их изучение и составляет осн. содержание алгебры.

А. с. с одной всюду определенной бинарной операцией , на которую не наложены никакие требования, наз. группоидами (иногда моноидами, или мультипликативными системами). Группоиды, для которых умножение ассоциативно, наз. полугруппами. Внутри последних выделяют классы полугрупп с единицей, полугруппы с односторонним и двусторонним сокращением и коммутативные полугруппы. Если умножение не обязательно ассоциативно, но обратимо справа и слева, группоид наз. квазигруппой. Квазигруппы с единицей наз. лупами. Интерес к теории квазигрупп и луп возрастает в связи с применением ее в геометрии (сети и ткани) и в комбинаторном анализе. Если умножение и ассоциативно и обратимо, то эта важнейшая А. с. наз. группой (см. Групп теория). Наложение дополнительно коммутативного закона выделяет в классе групп важный подкласс коммутативных (или абелевых) групп.

Важнейший класс А. с. с двумя бинарными операциями — кольца. Кольцо — это алгебра в которой для операции сложения она — абелева группа, для умножения — группоид, а сложение и умножение в ней связаны левым и правым законами дистрибутивности. Накладывая последовательно на умножение дополнительные аксиомы, получаем классы колец все более частного вида со все более богатой теорией: если умножение ассоциативно, то и кольцо наз. ассоциативным; в ассоциативных кольцахвыделяются коммутативные, с коммутативным умножением. Обычно требуется, чтобы кольцо содержало единицу для умножения. Наконец, хорошо изученным классом колец являются коммутативные кольца без делителей нуля (т. е. такие, что из следует а = 0 или ), называемые областями целостности. Изучение этого класса началось в 19 в. в связи с развитием арифметики рациональных и алгебр. чисел. Областями целостности являются также кольца полиномов и различные функциональные кольца. Исследование коммутативных колец, особенно областей целостности, — важная задача алгебр, геометрии — одного из самых актуальных разделов современной алгебры. Некоммутативными кольцами являются, напр., кольца матриц; этот раздел тесно связан с алгеброй линейной и с функциональным анализом. Широко применяются и некоторые классы неассоциативных колец (в них ассоциативный закон заменяется некоторым более слабым требованием). В матем. анализе и в геометрии важное значение приобрели кольца Ли, кольца Йордана, альтернативные кольца и др. Ослабления требований к операции сложения рассматривались реже. Коммутативность сложения следует из выполнимости обоих распределительных законов при очень слабых дополнительных аксиомах (напр., существование единицы для умножения). Поэтому для получения нетривиальных обобщений колец с некоммутативной аддитивной группой нужно пожертвовать одним из распределительных законов. А. с., в которых имеет место лишь один распределительный закон (напр., левый) и операция сложения определяет некоммутативную группу, наз. почти кольцами. Эти А. с. изучают в связи с многочисленными применениями их в теории групп.

Если ассоциативное кольцо, в котором все элементы, кроме нуля, обладают обратным элементом (тем самым операция умножения обратима), то такая А. с. наз. телом. Если при этом умножение коммутативно, то тело наз. полем. Поле — одна из исторически первых и самых важных А. с. в алгебре. Напр., хорошо известны поле рациональных чисел, поле действительных чисел, поле комплексных чисел, поле алгебр, чисел, поля рациональных ф-цнй, поля вычетов по простому модулю и т. д. Теория полей — один из самых обширных и разработанных разделов алгебры.

К А. с. относят и образования, которые наряду с одной или двумя операциями обладают еще и некоторым к-вом внеш. операций—операторов. Область операторов для некоторой алгебры или — это некоторое мн-во называемое мн-вом операторов для такое, что для всякого причем в случае

для Каждый из операторов можно рассматривать как дополнительную унарную операцию на М. Обычно мн-во операторов 2 — это какая-то А. с. (полугруппа, группа, кольцо, поле), операции которой согласованы с операциями на М. Самыми известными и распространенными А. с. «с операторами» являются векторные пространства; в них наряду с бинарной операцией сложения определена операция умножения на скаляры, пробегающие некоторое поле. Обобщением векторных пространств являются модули; в них в качестве области скаляров берут произвольное ассоциативное кольцо R с единицей, причем действует на аддитивной группе модуля как единичный оператор.

Сюда же относится и понятие линейной алгебры. Это ассоциативное кольцо для которого задано коммутативное кольцо R операторов, причем для . Кроме того, . Иначе говоря, это А. с., являющаяся одновременно и модулем над R и кольцом А, в которых операции согласованы. Линейными алгебрами являются, напр., алгебры квадратных матриц с коэфф. из какого-либо поля или кольца, а также т. н. тензорные алгебры, играющие большую роль в геометрии. Бесконечномерные алгебры над полем действительных или комплексных чисел имеют большое значение для функционального анализа.

В матем. анализе обычно рассматривают не «чистые» А. с., а такие, в которых наряду с бинарными операциями и операторами определена еще и некоторая топология (т. е. определено какое-нибудь понятие «сходимости»), причем так, что все рассматриваемые операции непрерывны в этой топологии. Сюда относятся, в первую очередь, топологические векторные пространства, топологические группы, кольца, поля, алгебры. Изучение таких «топологизированных» А. с. составляет содержание т. н. топологической алгебры, нового раздела, лежащего на стыке алгебры и топологии. Такие структуры используют в матем. анализе. Нужно отметить, что к А. с. относят и такие, для которых соответствующие бинарные операции не всюду определены. К этим частичным алгебрам относятся такие важные структуры, как категории.

Большой интерес для приложений в дискретном анализе и в комбинаторике представляют конечные А. с., т. е. такие, которые определены на конечных мн-вах М. Сюда относятся конечные группы, конечные полугруппы, конечные поля и конечные векторные пространства. Такие структуры применимы и в теории конечных автоматов, в теории линейных кодов, в алгебре логики и др.

Лит.: Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. М., 1962 [библиогр. с. 383—387]; Мальцев А. И. Алгебраические системы. М., 1970 [библиогр. с. 384— 387]; Бурбаки Н. Элементы математики, ч. 1, кн. 2. Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра. Пер. с франц. М., 1962 [библиогр. с. 494—496]; Ленг С. Алгебра. Пер. с англ. М., 1968. Л. А. Калужнин.