ИНТУИЦИОНИЗМ
— направление в современной математике, из которого вытекает необходимость полной перестройки всей математической науки и которое приводит к радикальному отвержению значительной части классической математики. Основатель И. — голл. математик Л.-Э. Брауэр (1881—1966), его последователи — в основном также голл. ученые. Философской основой И. является картезианское требование полной очевидности содержания матем. рассуждений. Объекты математики конструктивно даются в умственных построениях и, не доказав возможность такого построения, нельзя ни в каком смысле утверждать, что объект существует. Всякие доказательства существования, не дающие метода построения, отвергаются как несостоятельные. Логика и арифметика. Брауэр считал логику вторичным продуктом матем. мысли, направленной в первую очередь непосредственно на матем. объекты, и воздерживался от формализации общих приемов рассуждения. Однако, в 1930 голл. математик А. Гейтинг предложил формализацию известных интуиционистских логических способов рассуждений посредством т. н. интуиционистского исчисления предикатов. Характерным свойством этого исчисления является невыводимость исключенного третьего закона. И. не признает справедливости этого логического принципа, т. к. нет универсального метода распознавания, какой из его членов (А или «не A») справедлив, утверждение не «не Л» не равносильно А, из утверждения «не для всех х не А (х)» не следует «существует такой х, что А (x)». Интуиционистское исчисление предикатов и его сужение до исчисления высказываний изучены довольно хорошо. Для исчисления высказываний указана процедура распознавания выводимости. Для обоих исчислений построены эквивалентные секвенциальные исчисления и доказана устранимость сечения; доказана также интерполяционная теорема. С классической матем. точки зрения оказались интересными алгебр, и топологическая интерпретации, этих исчислений и их связь с модальными исчислениями. Была дана интерпретация исчислений, соответствующая пониманию интуиционистской логики математиками-классиками, и доказана полнота исчислений относительно этой интерпретации. Другие интерпретации оказались неполными. Интуиционистская арифметика основывается на содержательно понимаемом принципе индукции. Разумеется, полностью она не формализуема, но частичная формализация проводится и успешно изучается.
Анализ и теория видов. Интуиционистский анализ связан в основном с понятием свободно становящейся последовательности натуральных чисел, каждый член которой определяется актом произвольного выбора или выбранным наперед законом образования. Континуум образуется свободно становящимися последовательностями рациональных чисел, подчиненными естественным ограничениям. Функции — это вычислимые функционалы над такими последовательностями. Как очевидный принцип, Брауэр выдвинул положение: значение вычислимого функционала
зависит только от некоторого начала последовательности. Второй принцип анализа — т. н. бар-индукция (с классической точки зрения эквивалентная индукции до счетных трансфинитов). На этой основе развивается система, в которой, в частности, всякая заданная на сегменте ф-ция оказывается равномерно непрерывной. Интуиционистский анализ был изучен и как формальная система. Нужно особо отметить, что в последних своих работах Брауэр вводит свободно становящиеся последовательности, зависящие от решения проблем к моменту выбора. Эти приемы нужны только для построения контрпримеров. Осн. понятием интуиционистской теории множеств является понятие вида, т. е. свойства матем. объектов, построение которых предшествует самому виду. Разумеется, полученная теория не может быть сколько-нибудь полной параллелью классической множеств теории.
И. явился, пожалуй, первым критическим направлением в математике, радикально отвергнувшим представление об актуально бесконечном. Это роднит И. с гильбертовским финитизмом и марковским конструктивизмом — направлениями, несомненно испытавшими на себе интуиционистское влияние. И. отличается от них некоторым допущением абстрактного элемента в понятии свободно становящейся последовательности. Тем самым допускается не только потенциальная счетная бесконечность, но и потенциальная континуальная бесконечность. В отличие от марковского конструктивизма И. оставляет без внимания тезис Черча, не считая его самоочевидным утверждением. Содержательно это приводит к анализу, отличному от конструктивистского. С другой стороны, абстракция в И. допускается только при построении континуума. Следующие уровни строятся с помощью предикативной иерархии видов. Классической параллелью И. является предикативизм Бо-реля — Лебега — Лузина, допускающий актуальный (т. е. классический) континуум, но на более высоких ступенях требующий предикативности определений. С прикладной точки зрения И. не имеет большой ценности. Но бескомпромиссность его идей, выдвинутых в период кризиса оснований математики, сыграла плодотворную стимулирующую роль. Отчасти под их влиянием Гильберт и выдвинул формалистскую программу обоснования математики (см. Формализм в математике). Следует особо отметить, что впервые начали применять понятие эффективной вычислимости еще до того, как оно подверглось систематическому изучению. Интуиционистский конструктивизм был одним из истоков конструктивизма в матем. философии.
Лит.: Клини С. К. Математическая логика. Пер. с англ. М., 1973 [библиогр. с. 451—465]; Гейтинг А. Интуиционизм. Введение. Пер. с англ. М., 1965 [библиогр. с. 152—160, 194—195]; Kleene S. С., Vesley R.E. The foundations of intuitionistic mathematics especially in relation to recursive functions. Amsterdam, 1965; Расев a E., Сикорcкий P. Математика метаматематики. Пер. с англ. М., 1972 [библиогр. с. 568—578]. В. А. Янков.
