КВАЗИАНАЛОГОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

- исследование физического процесса путем изучения явления иной физической природы, которое описывается математическими соотношениями, эквивалентными относительно получаемых результатов, и допускает измерение значений неизвестных величин. Состояние объекта моделирования обычно характеризуется группой неизвестных величин а состояние модели, находящейся в квазиана-логовом соответствии с объектом,— группой величин где некоторые постоянные.

Ур-ния объекта моделирования можно записать в виде,

где А — оператор, определяющий связи между неизвестными X и заданными величинами F. Всякая квазианалоговая модель является аналогом не исходной системы ур-ний, а некоторых др. ур-ний. Чтобы ур-ния объекта и квазианалоговой модели стали эквивалентными, необходимо выполнить ряд условий, называемых условиями эквивалентности. Эти условия могут быть такими, что для их реализации в модели не требуется использование получаемых в ней величин. Такие модели по своим свойствам практически не отличаются от моделей прямой аналогии и наз. квазианалоговыми моделями 1-го рода, или неуправляемыми (неуравновешиваемыми). В общем же случае условия эквивалентности таковы, что для их реализации необходимо использовать получаемые в модели величины. Поскольку последние заранее неизвестны, для реализации условий эквивалентности нужно организовать определенный процесс управления (уравновешивания). Модели в этом случае наз. квазианалоговыми моделями 2-го рода, или уравновешиваемыми. Неуравновешиваемые модели относятся к категории устр-в без обратных связей (см. Уравновешивания методы).

Общий подход к получению ур-ний неуравновешиваемых квазианалоговых моделей состоит в замене исходных ур-ний эквивалентными или расширенными ур-ниями, содержащими, кроме X и F, и вспомогательные неизвестные у, и дополнительные величины G, не зависимые от X. При этом матем. связи между X, у, F, G выбирают так, чтобы выполнялись и условия физ. реализуемости при помощи выбранных элементов, и условия простоты вычисления вектора G по данным, содержащимся в исходных ур-ниях.

Свойства уравновешиваемых моделей определяются структурой эквивалентных ур-ний. Общий подход к получению этих ур-ний (как и для неуравновешиваемых квазианалоговых моделей) состоит в том, что исходные ур-ния надо заменить расширенными так, чтобы выполнялись условия эквивалентности. Их выполнение осуществляется при помощи вектора уравновешивающих величин и вектора дополнительных, независимо определяемых величин.

Основой тех. средств К. м. являются электр. цепи, в которых распределение токов и напряжений находится в определенном соответствии с матем. зависимостями, описывающими стационарный или нестационарный процесс, происходящий в изучаемом объекте (см. Электрических цепей теория). Различные методы синтеза квазианалоговых моделирующих электр. цепей основаны на использовании принципа образования потенциально-нулевых точек, принципа образования узлов с нулевыми собственными проводимостями и на комбинированном использовании этих принципов (см. Нулевых собственных проводимостей узлов метод и Потенциально-нулевых точек метод).

1. Схема квазианалога, построенного на основе электрических цепей постоянного тока.

2. Схема квазианалога изгибаемого стержня: а — для коэффициента а, б — для коэффициента b.

Так, напр., ур-ния квазианалога, построенного на основе электр. цепей постоянного тока (рис. 1), имеют вид

Здесь матрицы собственных проводимостей узлов матрицы взаимных проводимостей между узлами векторы токов полюсов; значения коротком замыкании полюсов на общий полюс (землю). Квадратные матрицы диагональные, с положительными коэфф., не меньшими сумм модулей коэфф. соответствующих строк матриц Квадратные матрицы имеют неотрицательные компоненты, а в остальном они могут иметь произвольный вид. Из структуры и характера ур-ний рассматриваемого многополюсника следует, что его можно применять для моделирования алгебр, объектов. Однако, чтобы получить модели таких объектов в общем случае, необходимы способы, которые позволили бы устранять из ур-ний многополюсника члены вида , т. к. матрицы не могут быть произвольными. Таких способов всего два. Первый из них заключается в том, что для одной из групп полюсов или добиваются выполнения условий или Оставив, напр., полюсы на холостом ходу и выполнив условия получим ур-ния

Если ток или напряжение регулировать так, чтобы напряжение то получим ур-ние позволяющее моделировать алгебр, объекты произвольного вида, т. к. матрица может быть произвольной. Принцип образования потенциально-нулевых узлов в моделирующих цепях применяют для моделирования не только алгебраических, но и дифференциальных и др. объектов.

При втором способе члены вида можно устранять из ур-ний цепи, регулируя токи таким образом, чтобы выполнялись соотношения

этом случае также получим ур-ния

позволяющие моделировать алгебр, объекты произвольного вида. Аналогичный результат получился бы в случае нулевых значений всех компонент матриц . В цепях синусоидального переменного тока, состоящих лишь из емкостей и индуктивностей, этого можно добиться и без регулировки токов , т. к. в таких цепях сопротивления емкостей и индуктивностей имеют противоположные знаки и, следовательно, могут быть скомпенсированы в каждом узле. Рассмотрим один из способов построения квазианалогов объектов на примере моделирования рамных систем строит, механики. Для каждого стержня рамы можно записать ур-ния

где l — длина стержня; — жесткость на изгиб; изгибающие моменты на концах; поперечные силы с противоположным знаком в каком-либо поперечном сечении стержня; угол поворота конца стержня; угол переноса с противоположным знаком; силовые факторы для стержня с защемленными концами.

Для определения неизвестных углов дополнительно составляют ур-ния равновесия. Эти ур-ния представляют собой простые суммы изгибающих моментов в узлах и суммы поперечных сил в различных сечениях рамы, поэтому они имеют вид

где у — вектор, компоненты которого моделируют углы ; В — прямоугольная матрица, компоненты которой состоят лишь из единиц и нулей; — вектор свободных членов. Схема квазианалога изгибаемого стержня приведена на рис. 2. Проводимости резисторов моделируют коэффициентами а При условии, что напряжения равны схема моделирует ур-ния стержня. Ур-ния равновесия в узлах рам и поперечных сечениях выполняются автоматически при соединении квазнаналогов стержней между собой.

Принцип эквивалентности, на котором основано К. является более общим, чем принцип подобия, на котором основано аналоговое моделирование. Поэтому чтобы увеличить возможности большинства современных моделирующих установок и расширить класс решаемых задач, их строят именно по этому принципу. Эти устр-ва используют для моделирования объектов, описываемых системами алгебр, и дифф. ур-ний с начальными и краевыми условиями, для решения задач оптим. планирования, строительной механики и т. д.

Г. П. Галузинский.