ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ.

Для описания поведения сплошной среды используются различные модели математические, которые во многих случаях приводят к нелинейным дифференциальным уравнениям гиперболического типа (см. Дифференциальных линейных уравнений с частными производными классификация). Такие ур-ния имеют точные аналитические решения только в редких случаях. До появления ЭВМ возможности числ. исследования сплошной среды были ограничены в основном случаем одной пространственной переменной (нестационарные задачи), двух пространственных переменных (стационарные задачи), линейными моделями и простейшими прибл. методами. Создание ЭВМ дало возможность числ. исследования более близких к природным, а, следовательно, и более сложных матем. моделей сплошной среды. В наст, время различают следующие среды, матем. описание которых приводит к гиперболическим ур-ниям: а) идеальные сжимаемые жидкости; б) сжимаемые жидкости (ур-ния, описывающие их, учитывают процессы вязкости и теплопроводности); в) упругие, упруго-пластические и упруго-вязкие среды; г) плазма.

Ур-ния, описывающие состояние сплошной среды, являются матем. выражениями законов сохранения (массы, импульса, энергии и пр.), справедливыми для произвольного элемента среды. Как правило, после перехода к эйлеровым прямоугольным координатам (что соответствует законам сохранения для произвольного параллелепипеда с ребрами, параллельными осям коорд.) получают квазилинейные ур-ния в дивергентном виде

которые являются основой для составления разностной схемы (см. Конечноразностные методы). Характерной особенностью рассматриваемых моделей сплошной среды является наличие в них ф-ций и параметров, которые во многих случаях можно рассматривать как малые. Таковы, напр., коэфф. вязкости, теплопроводности, сжимаемости. Их учет приводит к диссипативной модели среды, состояние которой описывается параболическими ур-ниями. В противном случае приходят к недиссипативной модели среды, описываемой гиперболическими ур-ниями. Отличительной чертой квазилинейных гиперболических ур-ний является то, что в решении могут возникнуть разрывы (напр., ударные волны, контактные разрывы) даже в том случае, когда начальные ф-ции гладкие. Поэтому вводится понятие обобщенного решения, основанного на использовании законов сохранения в интегр. форме и вытекающих из этих законов условий динамической совместности на появляющихся разрывах. Выполнение этих условий на разрывах приводит к необратимости процесса. При этом разрывы следует понимать как бесконечно тонкие зоны перехода, где происходят быстропротекающие необратимые термодинамические процессы. Недиссипативные модели можно рассматривать как предельные случаи диссипативных моделей при стремлении параметров диссипативности к нулю. Это замечание служит одним из способов получения обобщенных решений ур-ний гиперболического типа как пределов решений диссипативных (параболических) ур-ний при стремлении параметров диссипативности к нулю и широко применяется в разностных методах.

Численные методы решения ур-ний гиперболического типа можно разделить на две большие группы: 1) методы с явным выделением особенностей решения; 2) т. н. методы сквозного счета, в которых особенности решения явно не выделяются.

К первой группе методов следует прежде всего отнести метод характеристик, который появился в газовой динамике сравнительно давно и с успехом применялся для расчета одномерных нестационарных течений с небольшим к-вом особенностей, а также для расчета двумерных стационарных течений в области гиперболичности. Метод характеристик используется только для решения гиперболических ур-ний. Он основан на том, что гиперболическая система ур-ний с двумя неизвестными имеет два семейства действительных характеристик, которые образуют координатную сеть. В этом случае можно полностью избежать интерполяций, а тем самым и эффектов сглаживания и аппроксимационной вязкости. При большем к-ве неизвестных и независимых переменных начинают проявляться недостатки этого метода: возникает аппроксимационная вязкость, при наличии большого к-ва особенностей алгоритм становится логически сложным. Поэтому методом характеристик целесообразно решать задачи, в которых к-во разрывов невелико. В конце 60-х годов 20 ст. достигнут определенный прогресс в использовании метода характеристик при расчете пространственных задач. Доказано, что решение, полученное методом характеристик, сходится к решению исходной дифф. задачи в случае достаточно гладких решений.

В связи с необходимостью решать сложные задачи газовой динамики, содержащие большое к-во особенностей (ударных волн, контактных границ и центрированных волн разрежения), появились новые числ. методы, т. н. методы сквозного счета. В основе этих методов лежит единое толкование всех областей потока. Единство схемы расчета получается в результате наличия диссипативных членов схемы, которые сглаживают разрывы, превращая их в зоны перехода, имеющие ширину нескольких интервалов. Известные схемы сквозного счета имеют на гладких решениях локальную точность не выше 3-го порядка и глобальную точность — не выше 1-го порядка (учитывая невысокую точность схемы вблизи особенностей). В случае газовой динамики схемы сквозного счета довольно хорошо передают интегр. характеристики потока и воспроизводят довольно точно положение и скорость сильных ударных волн. Вместе с тем границы волн разрежения искажаются, контактные границы «размазываются» аппроксимационной вязкостью схемы, так что ширина их со временем растет.

Схемы сквозного счета по свойствам разрешимости и устойчивости линейных ур-ний, возникающих в результате конечноразностной аппроксимации, можно в свою очередь подразделить на 2 большие группы: а) явные схемы; б) неявные схемы. В явных схемах область зависимости разностного решения является конечным мн-вом точек, расположенных на плоскости начальных данных (если ограничиться рассмотрением задачи Коши), так что число точек в области зависимости на предыдущем временном уровне не растет с уменьшением шагов сетки Т. о., двухслойная явная схема представляется в виде

где числа не зависят от h.

В неявных схемах значение выражается через все значения где числа растут с уменьшением . Неявную схему можно записать в виде

где операторы А и В являются финитными, т. е. представляются в виде

где — оператор сдвига.

Явные схемы просты в реализации, но условие устойчивости их (см. Устойчивость разностных схем), как правило, дает на величину шага сильное ограничение вида

что приводит к излишне мелкому шагу и неоправданному увеличению объема вычислений. Неявные схемы более сложны в реализации при переходе с одного временного слоя на другой, но зато шаг можно выбрать сколь угодно большим и тем самым его можно определять, учитывая только требующуюся точность.

Явные и неявные схемы являются необходимыми элементами разностных методов решения систем гиперболических ур-ний. Кроме разделения схем по свойствам разрешимости (по структуре разрешающего оператора), существует классификация схем и по структуре сетки. Совр. теория рассматривает сетку как конечное мн-во точек — носителей информации, которые строятся в зависимости от решения, и эволюционирует вместе с ним.

Сглаживание разрывов в решениях, дающее возможность вести сквозной счет, происходит в схемах сквозного счета и благодаря явному введению диссипативных членов в дифф. ур-ния, и вследствие диссипативных свойств самой схемы. Объединяя оба механизма диссипативности, можно говорить об аппроксимационной вязкости разностных схем. Структура аппроксимационной вязкости схемы описывается первым дифф. приближением (ПДП) схемы, которое отличается от исходной дифф. системы ур-ний членами, содержащими старшие производные. Структура матриц при этих членах определяет не только свойства устойчивости схемы, но и ее диссипативные свойства. Во многих случаях представляется важным определить, насколько разностная схема или ее ПДП сохраняют групповые свойства исходной системы дифф. ур-ний. Сохранение схемой этих свойств имеет большое

значение в практическом счете, особенно для задач газовой динамики, где, напр., неинвариантность ПДП относительно преобразования Галилея приводит к неприятным счетным эффектам (неустойчивость, немонотонность профилей и пр.).

При численном интегрировании гиперболических ур-ний производные заменяют конечными разностями и после этого на каждом шаге приходится решать систему алгебр, ур-ний. Разностные схемы должны удовлетворять двум независимым условиям — аппроксимации и устойчивости. Эти требования в известной мере вступают в противоречие друг с другом. Кроме того, разностные схемы должны удовлетворять еще ряду практически необходимых требований — дивергентности, экономичности и т. д. Теория разностных схем начала развиваться в середине 40-х годов 20 ст. Это было вызвано необходимостью решения задач ядер-ной энергетики и ракетостроения, а также благодаря появлению ЭВМ. В 50-х годах 20 ст. были сформулированы и доказаны теоремы сходимости для разностных схем, аппроксимирующих линейные дифф. ур-ния. Эти теоремы позволяют сводить исследование сходимости разностной схемы к исследованию ее устойчивости.

В то время, как исследование аппроксимации разностной схемой соответствующего гиперболического ур-ния сравнительно просто, носит локальный характер и по существу сводится к разложению в ряд Тейлора, исследование устойчивости является значительно более сложной задачей. Несмотря на ряд исследований, предпринятых разными авторами, до сих пор не получены еще достаточно общие и эффективные критерии устойчивости и сходимости разностных схем для гиперболических ур-ний с переменными коэфф. (а тем более для нелинейных ур-ний).

Для разностных схем, аппроксимирующих гиперболические ур-ния с постоянными коэфф., устойчивость исследуется методом Фурье. Для этого оценивается норма образа Фурье оператора шага. Известно, что спектральный радиус матрицы образа Фурье оператора шага не превосходит нормы матрицы. Отсюда следует необходимый критерий устойчивости: для устойчивости разностной схемы необходимо, чтобы спектральный радиус образа Фурье оператора шага не превосходил величины , где — шаг разностной схемы по времени. Это условие необходимо и для разностных схем с переменными коэфф. При ряде дополнительных ограничений оно является и достаточным для устойчивости разностных схем.

Для исследования устойчивости разностных схем с коэфф., зависящими от пространственных переменных, применяются следующие методы: а) метод мажорантных или априорных оценок; б) локально-алгебр. метод. Наибольшее развитие метод априорных оценок получил в работах сов. и амер. математиков. Этот метод аналогичен соответствующему методу для дифф. ур-ний, но в разностном случае его очень трудно реализовать; это связано со спецификой разностного анализа, в котором в отличие от априорных оценок в теории дифф. ур-ний многие соотношения принимают громоздкий вид. В основе локально-алгебр. метода лежит изучение свойств локального разностного оператора, получаемого из соответствующего разностного оператора с переменными коэфф. фиксацией, «замораживанием» коэфф. Тем самым анализ устойчивости разностного оператора с переменными коэфф. заменяется анализом целого семейства операторов с постоянными коэфф. Локальный критерий устойчивости является обобщением метода «замораживания» коэфф., используемого в теории дифф. ур-ний. К локальному критерию устойчивости примыкает диссипативный критерий устойчивости, а именно: из диссипативности и аппроксимации разностной схемы следует устойчивость схемы для гиперболических систем дифф. ур-ний 1-го порядка с эрмитовыми матрицами. Практические расчеты показали, что эти критерии можно использовать при исследовании устойчивости разностных схем для нелинейных ур-ний, хотя обоснования этого пока нет.

В конце 60-х годов 20 ст. при исследовании устойчивости разностных схем для нелинейных ур-ний (в частности, для ур-ний газовой динамики) стали широко применять метод ПДП, который заменяет анализ разностной схемы анализом ее дифф. приближения. В случае, когда коэфф. исходного дифф. ур-ния постоянные, либо являются ф-циями независимых переменных, для ряда разностных схем показано, что из корректности ПДП следует устойчивость соответствующей разностной схемы. В противном случае обоснования этого метода нет. Однако метод дифф. приближения может объяснить неустойчивость разностных схем, наблюдаемую в расчетах и не улавливаемую локальным методом Фурье, ибо последний не учитывает градиентов.

В конце 60-х годов 20 ст. большое развитие получили разностные схемы повышенной точности. Исследованию схем повышенного порядка точности посвящен ряд работ и уже имеются примеры обнадеживающего использования в газодинамических расчетах схем 3-го и 4-го порядков точности.

При увеличении размерности задачи к-во операций на точку растет. Возрастают логические трудности в составлении программы расчета. Схемы простой аппроксимации становятся неэкономичными. Для получения экономичных устойчивых разностных схем предложены методы, основанные на идеях расщепления разностных схем, прибл. факторизации и расщепления (слабой аппроксимации) дифф. ур-ний. К одной из модификаций метода расщепления можно отнести метод «частиц в ячейках», широко используемый в наст, время при решении задач механики сплошной среды, в котором расщепление не связано с понижением размерности операторов. В основе метода расщепления лежит представление сложных операторов через простейшие, поэтому интегрирование исходного ур-ния сводится

к интегрированию ур-ний более простой структуры. В наст, время методом расщепления решаются многие сложные задачи матем. физики. Лит.: Яненко Н. Н. Введение в разностные методы математической физики, ч. 1-2. Новосибирск, 1968 [библиогр. ч. 2, е. 379—385]; Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М., 1968 [библиогр. с. 585—592]; Алалыкин Г. Б. [ и др.]. Решение одномерных задач газовой динамики в подвижных сетках. М., 1970; Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М., 1971 [библиогр. с. 538—550]; Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. Пер. с англ. М., 1972 [библиогр. с. 381—413]; Вычислительные методы в гидродинамике. Пер. с англ. М., 1967.

Н. Н. Яненко, Ю. И. Шокин.