КОРНЕЙ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ.

Чаще всего в приложениях встречаются трансцендентные уравнения (см. Уравнений классификация) вида

где непрерывные функции комплексной переменной могут быть сколь угодно близко аппроксимированы многочленами при достаточно большой степени п. Укажем условия, при которых в качестве прибл. решения ур-ния (1) можно принять корни решения алгебр, ур-ния Пусть ф-ция определена в области D, причем D содержит все решения ур-ния (1), т. е. корни и пусть

Обозначим через какой-либо корень . Если начиная с некоторого , попадает в D и сходится к когда , то является корнем Пусть теперь какой-либо корень и пусть D — замкнутое ограниченное мн-во. Обозначим через F мн-во значений ф-ции на D. Если отображает D на F взаимно однозначно, то существует обратное отображение, непрерывное на F. В этом случае и при условии, что начиная с некоторого , попадает в D, в любую окрестность лежащую в D, попадет некоторый корень для достаточно большого n. Условие может не выполняться. Тогда в качестве следует принять точку, в которой Некорректно поставленных задач способы решения). Т. о., в ряде весьма общих случаев задачу приближенного решения ур-ния (1) можно свести к задаче аппроксимации многочленами и к задаче прибл. отыскания корней многочленов (см. Корней алгебраических многочленов способы вычисления).

Если ф-ция действительного переменного имеет на отрезке первую производную имеющую, возможно, лишь разрывы 1-го рода, то отыскать все решения ур-ния (1) на можно следующим способом. Выбирается число М, удовлетворяющее соотношению

в качестве начального приближения берется точка а и проводится итеративный процесс

который сходится к ближайшему справа от решению ур-ния (1). После отыскания одного из решений ур-ния с заданной точностью 8 выбирается новое начальное приближение и заново проводится итеративный процесс (3) и т. д. до тех пор, пока не будут найдены все решения на отрезке т. е. до выполнения неравенства

Указанные способы целесообразно применять для отыскания всех корней с невысокой точностью. Одним из наиболее распространенных методов уточнения корней является метод Ньютона

обладающий квадратичной скоростью сходимости (для некратных корней).

В последнее время повысился интерес к методу секущих

Это связано с тем, что порядок скорости сходимости метода секущих а на каждой итерации, кроме первой, в отличие от метода Ньютона, вычисляется одно значение ф-ции.

Широко применяется для уточнения решения ур-ния (1) итеративный метод Эйткйна — Стеффенсена

обладающий квадратичной скоростью сходимости. Вычисление ф-ции, корень которой ищется, часто бывает трудоемким, длительным и дорогостоящим процессом. Поэтому возникает задача построения оптим. алгоритмов поиска корня.

Решение трансцендентного ур-ния (1) с непрерывной ф-цией на гибридной вычислительной машине обычно сводится к задаче отыскания минимума положительно определенной ф-ции Минимумы отыскиваются теми же способами, что и в случае алгебр, многочленов. Ф-ция на гибридной вычисл. машине строится на наборе алгебр, и трансцендентных непрерывных ф-ций (линейная комбинация, и др.) путем введения дополнительных ур-ний. На выводных устр-вах гибридной вычисл. машины удобно наблюдать траектории поиска решений, сечения ф-ции плоскостями и т. д.

При решении ряда трансцендентных ур-ний общего вида на гибридных вычисл. машинах используется метод сведения к решению системы непрерывных трансцендентных ур-ний. Конструктивный анализ многих ф-ций, заданных аналитически, приводит к представлению в виде где непрерывная ф-ция переменных имеет непрерывную обратную ф-цию . Применив выражение для обратной ф-ции получим систему трансцендентных ур-ний неизвестными. Левая часть системы непрерывна по переменным если непрерывны ф-ции Если не удовлетворяют условиям непрерывности, с каждой из них проделывается такая же процедура, как с ф-цией и т. д. до полного устранения разрывных и многозначных ф-ций.

Большинство встречающихся на практике ур-ний содержит приближенные числа. Обычно решают основное ур-ние, т. е. участвующие в его записи числа в процессе решения считают точными. Как показывает исследование некорректных задач, иногда более правильно решать некоторое вспомогательное регуляризованное ур-ние. Пусть заданное прибл. ур-ние имеет вид

где неизвестное, заданные с точностью до прибл. числа. Тогда основное ур-ние имеет вид Это ур-ние в окрестности каждого однократного корня определяет как неявную ф-цию от Найдем дифференциал этой неявной ф-ции

Если погрешности , достаточно малы, то наследственная погрешность определения корня из основного ур-ния

После того как найден приближенный корень полезно для контроля вычислить погрешность метода . Для этого можно воспользоваться ф-лой Ньютона:

Чтобы избежать случая кратных корней, полезно еще применить ф-лу Ньютона для вычисления корней:

Целесообразно требовать, чтобы .

Погрешность получающуюся за счет реализации выбранного алгоритма на вычисл. машине, следует оценивать в зависимости от особенностей этой машины (см. Погрешностей вычислений теория).

Лит.: Загускин В. Л. Справочник по численным методам решения алгебраических и трансцендентных уравнений. М., 1960 [библиогр. с. 210—213]; Черноусько Ф. Л. Оптимальный алгоритм поиска корня функции, вычисляемой приближенно. «Журнал вычислительной математики и математической физики», 1968, т. 8, № 4; Островский А. М. Решение уравнений и систем уравнений. Пер. с англ. М., 1963 [библиогр. с. 209—214]. Г. И. Грездов, В. В. Иванов, М. Д. Майергойз.