ИНТЕГРАЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ.

Многие задачи матем. физики и инженерной практики сводятся к решению интегральных ур-ний (и. у.) Фредгольма (1, 2) и интегральных уравнений Вольтерры (3,4)) 2-го и 1-го рода соответственно

с неизвестной ф-цией . Ур-ние (3) является частным случаем (1), когда к для ; путем дифференцирования от ур-ния (4) можно перейти к ур-нию (3). Ур-ние (2) коренным образом отличается от ур-ния (1); оно содержит в себе существенные внутр. трудности, и изучено еще недостаточно.

Найти точное решение и. у. в замкнутом виде удается только в отдельных случаях. Для решения ур-ния (1) широко применяются приближенные методы (особенно в последние годы в связи с использованием вычисл. техники). Хорошо известны такие методы приближенного решения и. у., как метод простой итерации, метод замены ядра на вырожденное, вариационные методы.

1. В методе простой итерации в качестве начального приближения к решению ур-ния (1) берут произвольную ф-цию . Последующие приближения строятся по ф-ле

При сходимости этого процесса за приближенное решение принимается при достаточно большом n, если все интегралы вычисляются точно. Достаточными условиями применимости метода простой итерации являются

или

При этом оценки погрешности определяются соответственно:

Для случая и. у. (2) доказана теорема: если и. у. (2) разрешимо, а его ядро симметрично, интегрируемо с квадратом и положительно определено, то последовательность ф-ций

где — наименьшее характеристическое число, а — любая интегрируемая с квадратом ф-ция, сходится в среднем к решению ур-ния (2).

Для ур-ния (3) последовательные приближения в методе простой итерации строятся по причем этот процесс всегда сходится. Погрешность оценивается неравенством

Если в (5) интегралы не находятся точно, то для их вычисления применяют те или иные квадратурные формулы. Если в ур-нии (1) ядро вырожденное , то решение этого ур-ния находится в явном виде , где решения системы линейных алгебр, ур-ний

при условии, что определитель системы отличен от нуля.

2. В методе замены ядра на вырожденное произвольное ядро к анпроксимируется вырожденным ядром так, что и в качестве ириближенного решения ур-ния (1) берется решение ур-ния с вырожденным ядром. Аппроксимацию заданного ядра вырожденным ядром можно производить различными способами. В частности, в качестве вырожденного ядра можно взять отрезок ряда Тейлора, или отрезок ряда Фурье, или интерполяционное ядро Бетмена. Оценку погрешности метода производят по следующей теореме: если о

где резольвента ур-ния с ядром то ур-ние (1) имеет единственное решение, и

удовлетворяет соотношению При конструировании вырожденного ядра важно получить хорошее приближение при небольшом числе слагаемых, ибо увеличение числа слагаемых может затруднить использование резольвенты.

3. В вариационных методах приближенное решение ур-ния (1) находят в виде аппроксимирующей ф-ции, зависящей от параметров

где — линейно независимые координатные ф-ции (обычно первые ф-ций из полной системы ф-ций на отрезке

. Важным примером таких ф-ций являются Подставив (7) в ур-ние (1), получим некоторую величину называемую невязкой:

Параметры , находятся из таких условий, при которых невязка в ка-ком-то смысле была бы по возможности малой. В зависимости от способа минимизации невязки получают тот или иной конкретный метод приближенного решения ур-ния (1). Но в каждом из них общим будет то, что для определения числовых значений параметров , получают систему ур-ний. Так, по наименьших квадратов методу неизвестные находятся из условия минимизации невязки ур-ния (1) в метрике пространства . В методе Галёркина требуется, чтобы невязка была ортогональна к координатным ф-циям от (или к ф-циям из другой полной системы координатных ф-ций). В методе совпадения требуется, чтобы невязка обращалась в нуль в точках , т. е. наряду с вариационными идеями используют также идеи метода конечных разностей. В методе подобластей отрезок разбивают точками а на частей, при этом необходимо, чтобы . Известно, что большинство вариационных методов сводится к методу замены ядра на вырожденное, поэтому в силу оценки при

Теор. и практический интерес к и. у. привел к созданию новых методов их приближенного решения. К ним относятся: в некотором смысле универсальный метод последовательных приближений, метод осреднения функциональных поправок, метод полос, метод моментов, метод замены ядра на кусочно-вырожденное, комбинированные методы, метод регуляризации при решении и. у. (2) и другие. Эти методы в определенных соотношениях комбинируют параметры описанных выше классических методов. Напр., при комбинации методов замены ядра вырожденным и простой итерации решения ур-ния (1) подбирают такие ф-ции и такое , чтобы остаточный член обладал свойством

Решением ур-ния (1) в этом случае будет ф-ция

где — решения ур-ний , которые в силу условия (9) находят методом простой итерации. Величины входящие в равенство (10), определяют из системы ур-ний

На практике желательно иметь как можно меньшие . Эти противоречивые требования приводят к необходимости построения алгоритмов, оптимальных в некотором смысле. Вводится величина, характеризующая оптимальность

где — миним. расстояние от 1 до собственных значений ядра к — множество всех методов приближенного решения ур-ния (1), при которых производится не более, чем N арифм. действий, норма для любой раз дифференцируемой ф-ции V означает сумму максимумов модулей Ф и всех ее производных до порядка включительно. Доказывается, что где положительные постоянные, зависящие лишь от . Метод, для которого , является оптимальным по числу арифм. операций, а метод, для которого оптимальным по порядку. Вычисл. схема оптимального по порядку метода состоит в следующем. Пусть

где — решения системы ур-ний то

и квадратурные ф-лы выбраны так, что Последовательные приближенные решения ур-ния (1) строятся по формулам , где I порядка . Числа выбирают так, чтобы

где — целая часть соответствующего числа.

На основе рассмотренных методов без принципиальных затруднений можно составить алгоритмы и программы решения этих ур-ний на ЦВМ. В ряде случаев весьма эффективной является реализация этих же методов посредством АВМ и гибридных вычисл. машин. Укажем некоторые особенности такой реализации. Пользуясь методом последовательных приближений, выбирают интервалы дискретизации , по переменной х. Ур-ния (1) и (3) решают соответственно по ф-лам

При этом аналоговые интеграторы вычисляют интегралы по ф-лам (12) и (13) без погрешностей метода, свойственных квадратурным ф-лам, с точностью до инструментальной погрешности (см. Погрешностей вычислений теория). Интервал представляют временем, в течение которого и определяется значение нового приближения. За таких циклов новое приближение определяется полностью. Поступающие под интегралы правых частей приближения искомого решения получаются путем вида интерполяции по отдельным, ранее вычисленным значениям. Если, в частности, к то для ур-ния (1) получают ф-лу последовательных приближений для значений, а не для ф-ций, что позволяет упростить вычисл. аппаратуру. На каждом шаге итерации одновременно определяют очередное приближение искомого решения Для замена ядра вырожденным позволяет получить приближенное решение из ур-ния

которое решают в течение интервала времени беспоисковым путем, т. е. путем построения электронного аналога ур-ния (14) и измерения в нем напряжения Реализуя метод конечных разностей, систему (11) при небольшом можно эффективно решать на АВМ в тех случаях, когда задано одно и то же ур-ние при различных правых частях Вариационные методы позволяют простыми средствами реализовать процесс минимизации невязок (8) при аппроксимации (7) с небольшим числом (до 4—6) координатных ф-ций. В комбинации с заменой ядра вырожденным получают эффективные алгоритмы, состоящие в минимизации невязок

различными способами и в различных метриках.

Использование АВМ расширяет возможность машинных методов при решении ур-ний (3) и (4) в частном, но важном случае, когда ядро зависит от разности аргументов. Тогда ур-ния

при обычных ограничениях решают беспоисковым путем за время . В некоторых случаях необходимо из условий воспроизводимости на АВМ аппроксимировать разностное ядро другим к которому соответствует приближенное решение Аппроксимацию можно проводить как расчетным

путем, так и подбирая параметры решающих блоков. При этом надо учитывать возможную некорректность задачи решения ур-ния (16) с приближенными данными. Рассмотренные методы с небольшими видоизменениями могут быть применены для решения многомерных линейных интегральных ур-ний указанного типа и систем таких ур-ний. О решении особых линейных интегральных ур-ний см. Интегральных линейных сингулярных уравнений способы решения.

Лит.: Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М., 1959 [библиогр. с. 671—680]; Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа, М.- Л., 1962 [библиогр. с. 698-708 ]; Положий Г. Н., Чаленко П. И. Решение интегральных уравнений методом полос. В кн.: Вопросы математической физики и теории функций, ч. 1. К., 1964; Михлин С. Г., Смолицкий Х.Л. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. М., 1965 [библиогр. с. 373—379]; Емельянов К. В., Ильин А. М. О числе арифметических действий, необходимом для приближенного решения интегрального уравнения Фредгольма II рода. «Журнал вычислительной математики и математической физики», 1967, т. 7, Кн 4.

А. Ф. Верлань, В. В. Иванов, П. И. Чаленко.