ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ТЕОРИЯ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ

— раздел теории автоматического управления, изучающей влияние вариации параметров на динамические свойства систем. Под вариацией параметров понимают любые отклонения их от значений, принятых за исходные. Эти отклонения могут быть известны полностью и описаны некоторыми ф-циями времени или же известны только с точностью до принадлежности к определенному классу (напр., ограничены по модулю или другой норме, или же известны некоторые статистические характеристики их). Вариации параметров могут быть конечные или же бесконечно малые, при этом порядок дифф. ур-ния, описывающего их, может оставаться неизменным или же изменяться. В теории чувствительности исходной динамической системой принято называть такую систему, параметры которой равны заданным и не претерпевают изменения; движение в ней принято называть тогда основным движением. Ту же систему при измененных значениях параметров наз. варьированной, а движение в ней — варьируемым. Разность между варьируемым и осн. движением наз. дополнительным движением.

Осн. задача теории чувствительности — анализ дополнительного движения, вызванного вариацией параметров. Он включает количественные оценки, исследование устойчивости, моделирование, синтез систем с учетом заданных требований к качеству дополнительного движения, разработку методов активного воздействия на параметры системы управления с целью достижения заданного качества дополнительного движения. Осн. положения теории разработали М. Л. Выховский, Р. Томович,

П. В. Кокотович и др. Г, Воде ввел понятие чувствительности как отношение относительной вариации параметра к вызванной им относительной вариации передаточной ф-ции (применительно к линейным системам):

Чаще применяется обратная величина

В качестве прямых оценок чувствительности принято использовать т. н. ф-ции чувствительности и играющие большую роль в количественной оценке степени влияния вариаций параметров на динамические свойства системы. Ф-ции чувствительности в случае бесконечно малых вариаций параметров определяют следующим образом. Пусть исходная динамическая система описывается дифф. ур-нием

где ф-ция решение ур-ния, параметр. При изменении на величину соответствующим образом изменится ур-ние

и его решение описывающие варьированное движение. Разность описывает дополнительное движение. Предел отношения этой разности

наз. функцией чувствительности и Если в исходной динамической системе, а, следовательно, и в описывающем ее дифф. ур-нии изменяются несколько параметров, то ф-ция чувствительности определяется точно так же, как и ф-ция нескольких параметров: и Ф-ции чувствительности можно определить в результате решения дифф. ур-ний, называемых ур-ниями чувствительности, которые легко получить из исходных ур-ний (1), если решения их являются непрерывными ф-циями параметров. Действительно, если определить частные производные ф-ции по , то на основании ур-ния (1)

где

И если теперь учесть, что согласно определению коэфф. чувствительности

то из выражения (2) получим ур-ние чувствительности

Особенностью этих ур-ний является то, что они всегда линейны, даже если исходное ур-ние (1) является нелинейным, потому что производные не зависят от и

Если исходное ур-ние (1) линейно относительно то левая часть ур-ния чувствительности имеет такую же структуру и такие же коэфф., как и исходное ур-ние. Действительно, в этом случае равны коэффициентам при переменных в исходном уравнении. Если исходное ур-ние (1) зависит от двух и более параметров ур-ния чувствительности определяются аналогично.

Методы решения ур-ния чувствительности средствами вычисл. техники для малых возмущений параметров в достаточной степени развили Г. Майсингер и др. Их широко применяют для определения ф-ций чувствительности. Часто для определения этих ф-ций, особенно линейных систем, используют структурные методы. Метод варьируемого звена, разработанный М. Л. Быховским, удобен тем, что для получения ф-ции чувствительности достаточно лишь располагать входными и выходными величинами исходной системы и варьируемого звена и моделью зависимости характеристик только этого звена от вариации параметров. П. В. Кокотович распространил этот метод на более широкий класс систем, включая нелинейные и нестационарные.

Для определения ф-ции чувствительности требуется две модели: исходной системы и системы, подобной исходной, объединенные связывающим звеном с передаточной функцией . Если в системе изменяются к параметров, то для определения ф-ций чувствительности необходимо иметь к моделей, подобных исходной. Это неудобно, вследствие чего на практике прибегают к поочередному определению ф-ций чувствительности с помощью одной модели путем коммутации связывающих цепей для каждой вариации . П. В. Кокотович, использовав понятие логарифмической чувствительности

и теорию графов, разработал метод определения ф-ций чувствительности на одной модели, выделяя в ней т. н. точки чувствительности. Однако этот метод в общем применим не ко всем системам. Для анализа чувствительности, помимо непосредственного определения функций чувствительности, применяются различные косвенные оценки, например частотные оценки:

где — амплитудно-фазовая характеристика всей системы, — амплитуднофазовая характеристика варьируемого звена. Однако непосредственное вычисление дополнительного движения по ним затруднительно. Часто применяются квадратичные показатели (напр., дисперсия ) дополнительного движения, вызванного вариацией параметров. Достаточно полно разработаны и др. косвенные оценки — корневые, или алгебраические, напр., коэфф. чувствительности нулей и полюсов передаточной ф-ции системы К вариации параметров . Осн. положения теории чувствительности непрерывных систем распространены и на разрывные системы.

Теорию чувствительности все шире применяют в системах автомат, управления. Ф-ции чувствительности несут в себе чрезвычайно ценную информацию для решения задач синтеза динамических систем. Одной из важнейших задач является синтез систем, обладающих миним. чувствительностью к вариации параметров. Такой синтез можно осуществить на основе определенных условий, налагаемых на некоторый функционал характеризующий дополнительное движение. На основе требования равенства нулю этого функционала синтезируются системы, обладающие свойством параметрической инвариантности, т. е. нечувствительные к вариациям параметров. Разработаны методы синтеза оптимальных по нечувствительности систем на основе минимизации функционала . В работах некоторых авторов, напр., предлагается рассматривать задачу чувствительности как теоретико-игровую задачу автомат, управления в предположении, что возмущение, вызванное изменением параметров, является антагонистическим по отношению к динамическим свойствам объекта и управляющему воздействию. Такое применение методов игр теории в теории чувствительности — перспективно, в особенности для синтеза оптим. систем управления, нечувствительных к вариации параметров объекта и к тому же обладающих минимаксными свойствами. Вследствие того, что теор. фундаментом теории чувствительности являются классические методы теории малых возмущений, существует определенная связь между чувствительностью и теорией устойчивости в малом по Ляпунову. Показано, что

ур-ния, определяющие ф-ции чувствительности по отношению к малым изменениям начальных условий дифференциальных ур-ний, совпадают с ур-ниями первого приближения в теории устойчивости А. М. Ляпунова. Эта связь имеет не только теор., но и важное практическое значение.

Теорию чувствительности применяют при построении беспоисковых самонастраивающихся систем. Используя определенную аналитическую зависимость между сигналами осн. системы и модели чувствительности, вычисляют ф-ции чувствительности, на основе которых определяют некоторый функционал зависящий от изменяющихся параметров. Процесс самонастройки производится так, чтобы этот функционал стремился к нулю. Осн. трудностью при построении таких систем является вычисление ф-ций чувствительности, связанное с необходимостью решения интегр. ур-ний типа свертки. В работах ряда авторов предлагаются методы приближенного определения свертки, и это значительно упрощает вычисление ф-ций чувствительности.

Большое практическое значение имеет т. н. обратная задача чувствительности, которая заключается в оценке вариации параметров по наблюдению вызванного ими возмущения выходного сигнала. Вычисленные вариации параметров по отклонению выходного сигнала можно использовать для активного воздействия на параметры системы управления с целью улучшения качества работы системы в целом. Хотя матем. фундамент для решения обратной задачи уже имеется, однако вопросы практического применения ее еще недостаточно разработаны.

Лит.: Быховекий М. Л. Основы динамической точности электрических и механических цепей. М., 1958 [библиогр. с. 153—156]; Чувствительность автоматических систем. М., 1968; Розенвассер Б.Н., Юсупов P.M. Чувствительность систем автоматического управления. Л., 1969 [библиогр. с. 205—207]; Tomovic R. Sensitivity analysis of dynamic systems. Belgrade, 1963.

А. Г. Шевелев.