КОНСТРУКТИВНОЕ НАПРАВЛЕНИЕ В МАТЕМАТИКЕ, конструктивная математика

— направление исследований, ставящее своей главной задачей перестройку важнейших частей традиционной (классической) математики в соответствии со следующими методологическими принципами. 1) Системы матем. объектов, изучаемые в таких теориях, всегда описываются как системы конструктивных объектов. 2) Центр, место занимает изучение соответствий, заданных при помощи алгоритмов. 3) Утверждение о существовании матем. объекта, удовлетворяющего некоторому условию, считается доказанным только тогда, когда указан способ построения такого объекта. Под системой конструктивных объектов понимается система, описанная следующим образом: а) описаны некоторые исходные матем. объекты, которые рассматриваются как элементарные, нерасчленяемые на части; б) перечислены некоторые способы комбинирования исходных объектов между собой; в) указано условие, которому удовлетворяют те и только те комбинации исходных объектов, которые считаются элементами системы; г) указано условие, при котором два элемента системы считаются равными. При этом используется абстракция потенциальной осуществимости, т. е. процесс построения комбинаций исходных объектов представляется не связанным никакими ограничениями в пространстве, времени или материале. С другой стороны, указанная особенность теорий, принадлежащих к К. н. в м., исключает рассмотрение совокупностей элементов некоторой системы конструктивных объектов безотносительно к какому-либо способу описания этих совокупностей, требующее привлечения абстракции актуальной бесконечности. В конструктивной математике допустимы данные в классической математике определения понятий целого числа, рационального числа, полинома с рациональными коэфф., но не допустимы данные в ней определения вещественного числа, ф-ции, множества и т. п. В соответствии с п. 2 термин «функция» связывается лишь с теми соответствиями, которые описаны посредством задания алгоритма, позволяющего эффективно найти (построить) значение ф-ции по значению аргумента. Аналогичным образом понимаются термины «последовательность», «отображение», «функционал» и т. п. Поэтому некоторые способы задания отображений, используемые в классической математике, не используются в конструктивной. В соответствии с п. 3 в конструктивной математике считаются недопустимыми «чистые» доказательства существования, как, напр., известные доказательства теоремы Вейерштрасса об ограниченности непрерывных ф-ций с помощью теоремы Больцано — Вейерштрасса и «основной теоремы алгебры» с помощью теоремы Лиувилля о целых ф-циях. Аналогично, если доказывается утверждение о том, что всякий матем. объект некоторого типа удовлетворяет одному из нескольких условий, необходимо указывать способ, позволяющий узнать, какое из условий выполняется. Исследование конструктивного понимания матем. суждений и конструктивных доказательств составляет предмет спец. раздела матем. логики (см. Логика конструктивная). Требования к доказательствам, предъявляемые в конструктивной математике, близки к интуиционистским (см. Интуиционизм), но в некоторых пунктах отличаются от них. Исследования основоположников интуиционизма Л. Брауэра и др., наряду с исследованиями норв. математика Т. Сколема (р. 1887) по теории рекурсивных ф-ций и англ. математика А. Тьюринга (1912—1954) по теории алгоритмов, послужили одним из идейных источников К. н. в м. Философско-матем. взгляды современных конструктивистов далеки от интуиционистской философии. Однако К. н. в м. интересно независимо от каких бы то ни было позиций в области философии математики.

В принципе каждой теории классической математики соответствует аналогичная теория конструктивной математики; в этом смысле говорят о конструктивном дифф. исчислении, конструктивной теории множеств и т. п. Соотношение между системами понятий классической теории и соответствующей конструктивной теории в некоторых случаях является довольно сложным. Иногда одному понятию классической теории соответствуют два понятия конструктивной теории и наоборот. В ряде случаев понятие классической математики вообще не находит себе конструктивных эквивалентов, и наоборот, некоторые понятия, определяемые в конструктивной математике, не имеют эквивалентов в классической. Такой же характер носит соответствие между теоремами классической и конструктивной теорий. Иногда для доказательства конструктивного аналога классической теоремы требуется привлечение совершенно новых идей, Работы, посвященные конструктивизации классической математики, принадлежащие большей частью к тому варианту конструктивной математики, который сформировался в 1950-х гг. в работах сов. математика А. А. Маркова (р. 1903) и его учеников, относятся к теории функций вещественной переменной и функциональному анализу (см. Конструктивный анализ). Кроме того, уже имеются работы, посвященные конструктивизации теории ф-ций комплексного переменного, теории обобщенных ф-ций, теории вероятностей, теоретикомножественной и комбинаторной топологии и некоторых др. теорий. Различные теории преобразуются при этом в разной степени; элементарная теория чисел и комбинаторика переносятся в конструктивную математику практически без изменений, а из теории множеств сохраняется лишь сравнительно небольшая часть (включающая, впрочем, все то, что имеет серьезные приложения к анализу). В целом исследования, принадлежащие к К. н. в м., позволяют в настоящее время сделать вывод, что математические теории, важные для приложений математики, в основном могут быть построены в рамках конструктивной математики.

Главное преимущество конструктивного способа построения математики перед классическим состоит в том, что конструктивная математика дает возможность весьма просто выяснить вопрос о том, по каким исходным данным может быть построено решение той или иной матем. задачи: здесь по формулировке теоремы о существовании матем. объекта сразу можно сказать, по каким исходным данным этот объект может быть построен, а проводимое иногда в классической математике различие эффективных и неэффективных доказательств не всегда приводит к полному решению этого вопроса. Как правило, конструктивная теория выглядит более громоздкой и сложной, чем соответствующая классическая теория. Эта громоздкость составляет осн. недостаток конструктивного подхода к построению математики по сравнению с классическим. Однако в последнее время были достигнуты определенные успехи в разработке методики изложения конструктивных теорий, дающие основание отнести отмеченную громоздкость в основном за счет того, что в конструктивной математике еще не выработана удобная форма изложения.

Исследования по конструктивной математике во многом стимулировали развитие логики математической и алгоритмов теории. Установленная в результате этих исследований возможность построения осн. разделов математики существенно разными способами имеет большое принципиальное значение. Дальнейшие исследования в этой области направляются, гл. о., желанием выяснить, не сможет ли конструктивная математика, ввиду наличия у нее существенных преимуществ перед классической, заменить ее. Процессы такого рода имели место в истории математики (например, смена атомистической геометрии Демокрита геометрией Эвклида). Несмотря на успехи, достигнутые К. н. в м., число его сторонников в настоящее время невелико.

Лит.: Марков А. А. О конструктивной математике. Шанин Н. А. Конструктивные вещественные числа и конструктивные функциональные пространства. «Труды Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР», 1962, т. 67; Bishop Е. Foundations of constructive analysis. New York, 1967; Гудстейн P. Л. Рекурсивный математический анализ. Пер» с англ. М., 1970.

В. А. Лифшиц.