ЛОГИКИ НЕКЛАССИЧЕСКИЕ
— логические системы, в основе которых лежит иное, чем в классической логике, истолкование традиционных логических операций отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и кванторов. В некоторых Л. н. к числу исходных традиционных логических связок добавляются такие, как «необходимо», «возможно», «разрешено», «будет» и др.
Л. н., одно из направлений современной логики математической, начали развиваться в начале 20 в. Появление одной из первых систем Л. н. — интуиционистской, связано с критикой одного из осн. законов классической логики — исключенного третьего закона: из любых двух противоречащих друг другу суждений одно — истинно. В матем. логике этот закон формулируется так: для каждого предложения А либо А либо не А. С критикой этого закона выступил в 1908 голл. математик Л. Брауэр. В своей критике он исходил из осн. принципа интуиционизма, существование в математике — это то же самое, что конструктивность (т. е. возможность построения). В соответствии с этим принципом, напр., предложение: «существует х, обладающий свойством Р», следует понимать как возможность указать конкретный х, обладающий свойством Р. Теперь предположим, что высказывание А — предложение: некоторый элемент мн-ва обладает свойством Р. Если речь идет об элементах некоторого конечного мн-ва, то в принципе возможно перебрать все эти элементы и для
каждого проверить, обладает он свойством Р или нет. Если же это мн-во бесконечно, то такой перебор в принципе невозможен. Можно только надеяться, что удастся найти элемент с нужным, свойством или аналитически доказать, что А неверно, напр., вывести из А противоречие. Однако общего метода, позволяющего по любому предложению А установить, верно оно или нет, не существует. Поэтому Брауэр считал необходимым отказаться от принципа исключенного третьего. Классической логике была противопоставлена интуиционистская логика, которую формализовал голл. математик А. Гейтинг в 1930.
В 1910—13 рус. логик Н. А. Васильев предложил логику, которую он назвал «воображаемой». Подобно тому, как «воображаемая» геометрия Лобачевского была результатом отказа от 5-го постулата Евклида, «воображаемая» логика основывалась на отказе от закона противоречия, сформулированного следующим образом: ни одной вещи не принадлежит предикат, противоречащий ей. В «воображаемой» логике возможны три типа суждений: суждение может быть утвердительным (С есть Р), отрицательным (С не есть Р) и акцидентальным (С есть Р и есть не-Р). Из истинности, напр., акцидентального суждения следует ложность утвердительного и отрицательного, из ложности утвердительного и акцидентального следует истинность отрицательного. Закон исключенного третьего заменяется, таким образом, законом «исключенного четвертого». При этом сохраняется закон «несамо-противоречия»: одно и то же суждение не может быть одновременно истинным и ложным. Логика Васильева была мало известной и не получила глубокого развития.
Широко известными являются логики многозначные, построенные польским логиком Я. Лукасевичем (1920) и амер. математиком Э. Постом (1921). Они являются обобщением классической логики в следующем смысле. В 
-значной логике предложения могут принимать любое из к истинностных значений, подобно тому, как в классической логике предложения принимают два значения: «истинно» и «ложно». Напр., в трехзначной логике Лукасевича предложения могут быть «истинными», «ложными» и «нейтральными». В 1930 Я. Лукасевич и А. Тарский построили также бесконечнозначную логику. Значением для высказывания в этой логике может быть любое действительное число в интервале от 0 до 1. Истинностное значение рассматривается в ней, как вероятность справедливости высказывания. Высказывания, которые всегда принимают значение 1, являются тавтологиями этой логики.
С критикой т. н. «парадоксов материальной импликации», которые противоречат интуитивному пониманию логического следования, связано построение логик импликации строгой. Первую из таких логик разработал амер. логик К. Льюис в 1912—18. Дальнейшую формализацию строгой импликации предложил в 1956 нем. математик В. Аккерман. Ряд работ, относящихся к формализации логического следования, принадлежит сов. логику А. А. Зиновьеву.
Другой вид импликации, т. н. коннексивная импликация, возник при попытке построить логику, в которой справедлив «тезис Аристотеля»: никакое высказывание не может имплицироваться своим собственным отрицанием. Полную непротиворечивую логику с такой импликацией построил совр. логик С. Мак-Колл.
Рассмотрение суждений не только истинных и ложных, но также возможных, необходимых и др. привело к созданию модальной логики. В модальных логиках в качестве исходных логических связок берутся, наряду с традиционными связками, модальные операторы: необходимость, возможность и т. д. Ряд логических исчислений модальной логики построил К. Льюис. Трехзначная и четырехзначная логики Лукасевича также являются модальными логиками. Наряду с «абсолютными» модальностями рассматриваются и относительные, где суждения могут быть необходимы или возможны относительно других суждений. Близкими к модальным логикам являются деонтическая логика, у которой в число исходных связок входят операторы: «разрешено» и «запрещено», временная логика с ее исходным оператором: «будет случай, что...» и другие Л. н.
Существуют два пути построения Л. н. Один из них есть обобщение двузначности классической логики, где все предложения интерпретируются на мн-ве из двух значений. Он состоит в задании логики посредством интерпретации. При этом явно указывается, какие «истинностные» значения могут принимать высказывания и какие из этих значений являются выделенными или отмеченными (аналог значения «истинно» в классической логике). Логические операции задаются как ф-ции на мн-ве истинностных значений. Таковы, напр., многозначные логики Лукасевича и Поста. Другой путь построения Л. н.- аксиоматический метод. Подобно тому, как классическую логйку можно задать с помощью системы аксиом и правил вывода, Л. н. можно ввести в виде исчисления, т. е. указать аксиомы и правила, позволяющие из аксиом получать все верные в рассматриваемой логике формулы. Таким способом строят интуиционистскую логику, логики строгой импликации и многие модальные логики.
При задании логики в виде исчисления одной из осн. проблем является проблема интерпретации, т. е. построения адекватной матрицы для исчисления или хотя бы класса матриц таких (по возможности просто устроенных), чтобы выводимость формулы в исчислении была эквивалентна ее общезначимости в этом классе матриц. При построении логики посредством интерпретации важной проблемой является проблема аксиоматизации, т. е. представления логики в виде исчисления, в котором выводимы все верные в логике формулы и только они. Эта проблема решена для большого класса многозначных логик.
Значительное число исследований в области многозначных логик относится к проблеме функциональной полноты. Она состоит в нахождении условий, при которых через связки из данного произвольного списка можно выразить все мыслимые логические связки исследуемой логики. Как правило, Л. н., которые содержат лишь традиционные логические связки, являются частью классической логики в следующем смысле. В Л. н. отвергаются некоторые постулаты классической логики, однако все формулы, верные в какой-либо из Л. н., являются тавтологиями классической логики (исключение составляет логика коннексивной импликации, в которой верными являются некоторые тождественно ложные формулы).
Модальные логики также согласованы с классической логикой. Все формулы, верные в модальной логике и содержащие только связки классической логики, являются тождественно истинными. Более того, большинство модальных, деонтических и др. логик основаны на классической логике, т. е. верно и обратное: любая тавтология классической логики является верной и в этих Л. н.
Возможна интерпретация некоторых Л. н. с помощью классической логики. Речь идет о семантике, которую предложил современный амер. математик С. Крипке, для интуиционистской и ряда модальных логик. Семантические построения Крипке замечательны тем, что они позволяют объяснить истинность в той или иной Л. н. через классическую истинность в некоторой системе связанных между собой «воображаемых» миров.
Большое внимание при изучении Л. н. уделяется установлению связей между различными логиками. Кроме обычного отношения включения (все верные формулы одной логики являются тавтологиями в другой), большой интерес представляет переводимость одной логики в другую. Напр., по любой формуле интуиционистской логики можно построить формулу модальной логики 
, тавтологичность которой в модальной логике эквивалентна справедливости исходной формулы в интуиционистской логике. Это позволяет свести многие проблемы интуиционистской логики к проблемам модальной логики. Модальные логики являются в некотором смысле универсальными, т. к. для многих логик возможен их перевод в подходящие модальные логики.
Из Л. н. интуиционистская и близкая к ней логика конструктивная являются наиболее известными. Критика методов классической математики, провозглашающая необходимость их ограничения, была вызвана обнаружением парадоксов в наивной теории множеств. Устранение парадоксов теории множеств возможно на основе других Л. н. Примером такой логики является трехзначная логика Д. А. Бочвара. В этой логике различаются высказывания, имеющие смысл, и бессмысленные высказывания. При этом предложения, выражающие парадоксы теории множеств, оказываются бессмысленными.
Из других приложений многозначных логик следует отметить построение спец. логических систем для преодоления трудностей в изучении квантовой механики (логика квантовой механики). Различные Л. н. строятся при доказательстве независимости систем аксиом, в частности, для классической логики. Чтобы доказать, что какая-либо аксиома не выводится из остальных, достаточно найти многозначную логику, в которой верны все аксиомы, кроме исследуемой.
При построении и исследовании различного рода кибернетических моделей часто сталкиваются с логикой, отличной от классической. Так, напр., при прогнозировании и диагностике сталкиваются с некоторыми разновидностями модальной логики, при исследовании работы управляющих устр-в — с различными формами временных логик, с логикой вопросов и ответов и т. д. Аппарат многозначной логики удобен при решении вопросов анализа и синтеза управляющих систем и при разработке методов контроля работы управляющих систем. Таким образом, кибернетика и вычисл. техника являются и потребителями различного рода Л. н., и одним из источников возникновения и развития таких логик. Лит.: Яблонский С. В. Функциональные построения в 
-значной логике. «Труды Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР», 1958, т. 51; Применение логики в науке и технике. М., 1960; Слинин Я. А. Теория модальностей в современной логике. В кн.: Логическая семантика и модальная логика. М., 1967; Зиновьев А. А. Очерк многозначной логики. В кн.: Проблемы логики и теории познания. М., 1968; Неклассическая логика. М., 1970; Гейтинг А. Интуиционизм. Введение. Пер. с англ. М., 1965 [библиогр. с. 152—160, 194—195].
Л. Л. Максимова.
