ВОССТАНОВЛЕНИЯ ТЕОРИЯ
— раздел вероятностей теории, посвященный исследованию некоторых общих характеристик случайных процессов, связанных с суммами независимых случайных величин. Основные положения В. т. широко используются в теории надежности, массового обслуживания теории, запасов теории и т. п. Первые результаты В. т. получены из рассмотрения частных вероятностных задач, связанных с длительностью безотказной работы некоторых физ. элементов.
Основной моделью В. т. является простой процесс восстановления. Такой процесс описывается последовательностью 
взаимно независимых, неотрицательных, одинаково распределенных случайных величин, которые понимаются как длительности существования заменяемых элементов, восстановление которых происходит мгновенно. Считается, что первый элемент включается в работу в начальный момент времени t = 0 и заменяется в момент 
. Следующая замена производится в момент 
и т. д. Иногда
процесс восстановления 
начинается с другой случайной величины 
независимой от 
и, возможно, имеющей иной закон распределения. Расширенная последовательность 
общим процессом восстановления. Он рассматривается, когда первая установка элемента происходит в некоторый момент 
выбранный на положительной полуоси времени в соответствии с заданным распределением вероятностей. Напр., 
может быть «остаточным временем жизни» элемента, используемого в начальный момент 
. Процесс восстановления наз. дискретным, если 
решетчатые случайные величины, такие, что с вероятностью единица наибольший общий делитель всех А; совпадает с некоторым 
в противном случае процесс восстановления наз. непрерывным.
Важными характеристиками процессов восстановления являются случайные величины: 
момент 
-го восстановления; 
наибольшее значение 
для которого 
, т. е. число восстановлений, происшедших до момента 
Ф-цией восстановления 
математическое ожидание случайной величины 
.
Теоремы восстановления:
а) 
при 
б) теорема Блекуэлла для непрерывного процесса восстановления 
при 
и любом фиксированном а 
при условии 
характер поведения ф-ции восстановления 
описывается соотношением: 
при 
Ф-ция восстановления удовлетворяет следующему интегр. ур-нию
где 
ф-ция распределения случайных величин 
Если существуют плотность восстановления 
то интегр. ур-ние для плотности восстановления запишется в виде 
См. также Случайных процессов теория.
Т. И. Фурсова.
