ИНВАРИАНТНОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

— раздел автоматического управления теории, изучающий методы и средства достижения независимости (инвариантности) одной или нескольких регулируемых величин от внешних (непараметрических) возмущений, действующих на систему. Проблема инвариантности заключается в синтезе систем автомат, управления при условии равенства нулю ошибки, вызванной действием внешних возмущений (условия инвариантности).

При линейной трактовке задачи автомат, систему можно описать следующей системой дифф. уравнений:

где векторы-столбцы переменных системы и возмущений соответственно, матрица, элементы которой постоянные величины.

Необходимым и достаточным условием независимости, напр., величины от внеш. воздействия инвариантности от является тождественное равенство нулю минора определителя системы ур-ний, соответствующего элементу

Условия инвариантности аналогичны и для др. переменных, относительно возмущений Для методов инвариантности, в отличие от др. методов, важнейшей и присущей именно им особенностью является то, что синтез невозмущенных систем возможен при почти полном отсутствии информации относительно внеш. возмущений и непараметрических помех, действующих в системе. Осн. целью теории инвариантности является определение необходимой структуры системы управления и ее параметров, при которых влияние возмущений произвольного вида, но ограниченных по модулю (по своему макс. значению) не сказывалось бы на отклонении регулируемых величин от заданных заранее номиналов.

Идею инвариантности впервые высказал в 1939 сов. ученый Г. В. Щипанов. Затем в работах сов. математика Н. Н. Лузина были получены необходимые и достаточные условия инвариантности в самом общем виде (условия инвариантности Щипанова — Лузина).

При решении задач инвариантности различают системы, основанные на принципе регулирования по отклонению и принципе регулирования по возмущению, а также на комбинированном принципе (на основе двух предыдущих). Вопрос о физ. осуществимости систем, удовлетворяющих условиям инвариантности, является главным для всей теории инвариантности в целом. В системах по отклонению с одной регулируемой координатой условие инвариантности в общем случае нельзя реализовать абсолютно точно, а только с точностью до некоторой величины , т. к. для такого рода систем автомат, регулирования условие инвариантности вступает в противоречие с условиямв устойчивости. Это послужило поводом к тому, что в ряде работ вообще отрицалась возможность реализации условий абсолютной инвариантности. Вопросы реализуемости условий инвариантности изучены и освещены в работах сов. ученого в области автомат, управления Б. Н. Петрова (р. 1913). Он получил необходимые условия реализуемости абс. инвариантности переменной относительно некоторого возмущения при выполнении которых имеет место тождественное совпадение множества решений ур-ний исходной системы автомат, управления и системы, разомкнутой на выходе элемента, определяемого переменной при выполнении условий инвариантности и при равенстве нулю всех остальных воздействий. Необходимым и достаточным условием является, кроме вышеуказанного, еще и требование, чтобы звенья, с помощью которых достигается инвариантность, были физически осуществимыми. Петров установил, что условие физ. реализуемости выполняется в тех системах, где имеется по крайней мере два капала распространения воздействий между точкой приложения возмущений и точкой измерения регулируемой координаты, которая должна быть инвариантной относительно этого возмущения. Напр., для системы (рис. 1) условие

условие абс. инвариантности координаты х (t) относительно возмущения можно реализовать, если ее структуру дополнить связями, указанными штриховой линией, т. е. если создать еще один канал распространения возмущения относительно Действительно, в этом случае при т. е. полняется условие абс. инвариантности, которое не вступает в противоречие с критерием устойчивости, т. к. характеристическое ур-ние при этом не вырождается.

1. Структурная схема инвариантной системы регулирования по отклонению.

2. Структурная схема комбинированной инвариантной системы.

В системах программного управления иногда ставится задача передачи управляющего воздействия без искажений и запаздывания. Синтез такого вида систем осуществляется при условии равенства нулю ошибки воспроизведения, и методы синтеза таких систем эквивалентны методам решения задачи инвариантности для систем стабилизации, о которых шла речь выше.

Однако два канала не всегда и не для всех возмущений, действующих на регулируемую координату, можно создать в системах по отклонению с одиой регулируемой координатой, иапр., этого нельзя сделать для в системе рис. 1. И именно в этом заключается сложность, а порой и невозможность, реализации условий инвариантности в таком классе систем.

В системах регулирования по отклонению с несколькими регулируемыми переменными условия инвариантности можно всегда реализовать, если имеются два или больше параллельных канала для распространения одного и того же возмущения, относительно которого необходимо добиться инвариантности.

Показано, что условие инвариантности можно выполнить принципиально иным путем, если ввести в систему дополнительные связи по возмущению, т. е. преобразовав эту систему в комбинированную систему автоматического управления. Принципиальных затруднений при решении задачи инвариантности для таких классов систем не возникает, т. к. в этом случае лет противоречия между требованиями, вытекающими из условий инвариантности и условий устойчивости, т. е. такие системы физически реализуемы. В этом — существенное преимущество комбинированных систем управления. Они являются «грубыми», и при небольших отклонениях от условий инвариантности запас устойчивости в них не уменьшается. Но сложность реализации условий инвариантности в таких системах заключается в том, что необходимо непрерывное измерение величины возмущений, а это довольно часто невыполнимо. Иногда применяют косвенное измерение возмущений. Однако, такие системы в большинстве практически интересных случаев относятся к классу систем с принципом регулирования по отклонению. Им тогда будут присущи все особенности последних при выполнении условий инвариантности.

На рис. 2 приведена структурная схема системы комбинированного регулирования, где штриховой линией обозначена связь по возмущению . Если инвариантно относительно .

Для систем, параметры которых изменяются во времени, возникают вполне определенные трудности, однако - для этих систем условия инвариантности также можно получить на основе применения операторного метода анализа решений дифф. ур-ний с переменными коэффициентами. Основпые положения, относящиеся к теории инвариантности систем, описываемых дифф. ур-ниями с постоянными коэффициентами, были распространены на системы с переменными параметрами с использованием этого и других методов.

Н. Н. Лузин еще в 1940 указывал на возможность построения и для нелинейных дифф. ур-ний теории инвариантности, вполне аналогичной той, которая разработана для линейных ур-ний, если вместо языка определителей пользоваться языком якобианов. Появилось много различных работ, посвященных решению задач инвариантности для нелинейных систем управления. Эти работы можно расчленить на две группы. К первой относятся все те нелинейные задачи, которые можно либо свести к линейным, либо же для их изучения можно использовать идею симметрирования

двух каналов с нелинейными звеньями, по которым проходит одно и то же возмущение. Во второй группе задачи ставились в более общем виде, причем рассматривались и непрерывные, и разрывные нелинейности. Наибольшей общностью обладает метод, сводящийся к исследованию приращений некоторого функционала, напр., вида Удовлетворяющего заданной системе нелинейных дифф. уравнений , описывающих изучаемую систему управления. Здесь: вектор фазовых координат, характеризующий состояние системы; f — вектор внеш. возмущающих воздействий, непрерывные дифференцируемые (необходимое число раз) нелинейные функции; постоянные коэффициенты.

Постановка задачи при этом заключается в том, чтобы функционал Ф в силу уравнений был инвариантен относительно возмущений f. В том, что такая постановка задачи инвариантности совпадает с обычной, нетрудно убедиться, если взять частный вид приведенного выше функционала, когда кроме одного . В этом случае , и, таким образом, ставится обычное требование о независимости одной из координат системы относительно некоторого внеш. воздействия Были введены понятия о слабой и сильной инвариантности. Инвариантность наз. слабой, если не зависит от только в некоторый заданный момент времени когда траектория движения изображающей точки в фазовом многомерном пространстве соответствующем рассматриваемой системе уравнений , достигает заданной гиперповерхности Инвариантность наз. сильной, если независимость от будет иметь место на всем интервале движения от до

Решение задач для слабой и сильной инвариантности производится по-разному. Различными оказываются и условия слабой и сильной инвариантности, если уравнения нелинейны, и только для линейных задач эти условия совпадают.

Для сильной инвариантности необходимо и достаточно, чтобы функции не зависели от f при любом значении . Функции при этом определяются как , где оператор D (F) таков, что зависит только от .

Общность метода решения задач инвариантности на основе исследования приращений соответствующего функционала состоит в том, одним и тем же путем можно решить и линейные задачи с постоянными и переменными во времени параметрами, и нелинейные задачи. Этот же путь позволяет изучать не только непрерывные системы, но и дискретные — импульсные и цифровые. При этом для импульсных систем задачи рассматривались в двух постановках: 1) производился синтез систем при условии инвариантности для любых моментов времени и 2) при условии инвариантности для дискретных моментов времени — моментов замыкания импульсного элемента.

Рассматривались также задачи инвариантности для систем с переменной структурой, для систем управления с распределенными параметрами, производились исследования структурных свойств инвариантных систем, изучались вопросы инвариантности для самонастраивающихся систем, рассмотрена теоретико-информационная трактовка задач инвариантности и др. Используя совместно методы теории инвариантности и теории чувствительности (см. Динамических систем теория чувствительности), можно создать динамические системы, инвариантные не только по отношению к внешним возмущениям, действующим на систему, но и к изменению ее параметров.

Теория инвариантности уже нашла широкое практическое применение. Разработаны или находятся в стадии разработки инвариантные системы управления различными технологическими процессами термическими, металлург., нефтеперерабатывающими и др.), энерг. установками и тепловыми двигателями, достижения ее широко используют при создании гироскопических приборов и др. навигационных систем и систем управления подвижными объектами.

Лит.: Щипанов Г. В. Теория и методы проектирования автоматических регуляторов. «Автоматика и телемеханика», 1939, JVs 1; Лузин Н. Н. К изучению матричной теории дифференциальных уравнений. «Автоматика и телемеханика», 1940, Ns 5; Теория инвариантности и ее применение в автоматических устройствах. М., 1959; Кухтенко А. И. Проблема инвариантности в автоматике. К., 1963 [библиогр. с. 364—371]; Теория инвариантности в системах автоматического управления. М., 1964; Чувствительность автоматических систем. М., 1968; Беличенко В. В. О вариационном методе в проблеме инвариантности управляемых систем. «Автоматика и телемеханика», 1972, Ns 4; Теория инвариантности и теория чувствительности автоматических систем, ч. 1-3. К., 1971.

А. И. Кухтенко, А. Г. Шевелев.