ИГРЫ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ

- игры двух участников с прямо противоположными интересами. Формально эта противоположность (антагонистичность) интересов выражается в том, что при переходе от одной ситуации к другой увеличение (уменьшение) выигрыша одного из игроков влечет за собой численно равное уменьшение (увеличение) выигрыша другого игрока. Т. о., сумма выигрышей игроков в любой ситуации в И. а. постоянна (обычно можно считать, что она равна нулю). Поэтому И. а. называют также играми двух лиц с нулевой суммой (иногда — «нулевыми играми»). Матем. определение понятия антагонистичности (равенство по величине и противоположность по знаку выигрыша функций игроков) является формальным понятием, которое отличается от содержательного философского понятия, но сохраняет его ведущую черту — непримиримость противоречия.

Существует много явлений, для которых И. а. являются удовлетворительной моделью. К их числу относятся некоторые (но не все) военные операции, спортивные и салонные игры, принятие деловых решений в условиях конкуренции. Принятие решений в условиях неопределенности, напр., игры против природы, можно также моделировать как И. а. в предположении, что истинная, но неизвестная закономерность природы приведет к действиям, наименее благоприятным для игрока. Это предположение не означает, однако, что природа наделена сознанием, направленным против человека.

В И. а., по определению, невозможны к.-л. переговоры и соглашения между игроками. Действительно, если в результате к.-л. переговоров или соглашений один из игроков сумел бы увеличить свой выигрыш на некоторую величину, то выигрыш другого игрока уменьшился бы на такую же величину, т. е. для него эти соглашения были бы невыгодными.

И. а. в нормальной форме (см. Игр теория) задают системой , где А, В — мн-ва стратегий соответственно игроков, Н — вещественная ф-ция, определенная на мн-ве всех ситуаций и являющаяся ф-цией выигрыша 1-го игрока (ф-ция выигрыша 2-го игрока равна, по определению . Процесс разыгрывания И. а. состоит в выборе игроками некоторых своих стратегий , после чего 1-й игрок получает от 2-го сумму

Разумное поведение игроков в И. а. осуществляется на основании максимина принципа. Если

то у каждого игрока существуют стратегии оптимальные, т. е. стратегии, на которых достигаются в (1) внешние экстремумы. Однако уже в самых простых случаях равенство (1) может не иметь места. Напр., в игре матричной с матрицей

Чтобы обеспечить реализуемость принципа максимина, мн-ва стратегий игроков расширяют до мн-ва стратегий смешанных, состоящих в случайном выборе игроками своих первоначальных стратегий, называемых чистыми, а ф-ция выигрыша определяется как математическое ожидание выигрыша в условиях применения смешанных стратегий. В приведенном примере оптим. смешанными стратегиями игроков являются выборы игроками обеих своих стратегий с вероятностями 1/2, а игры значение равно нулю.

Если мн-ва А и В конечны, то антагонистическая игра наз. матричной игрой; для нее всегда существуют оптим. смешанные стратегии у обоих игроков. Если же одно из мн-в А или В бесконечно, то И. а. наз. бесконечной. Принцип максимина для бесконечных И. а. может осуществляться (если равенство (1) не имеет места) в виде равенства:

В этом случае оптим. стратегии игроков не существуют, однако для любого существуют -оитимальные стратегии (т. е. стратегии, обеспечивающие достижение значения игры с заданной точностью ) у обоих игроков. Если оба мн-ва А и В бесконечны, то оптим. смешанные стратегии (и даже -оптимальные) существуют не всегда, напр, в игре с ф-цией выигрыша

где стратегиями игроков являются мн-ва натуральных чисел. См. также Игра на единичном квадрате. Е. Б. Яновская.