ИГР ТЕОРИЯ
— теория математических моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликта. Поскольку участвующие в большинстве конфликтов стороны заинтересованы в том, чтобы скрыть от противника свои намерения, принятие решений в условиях конфликта обычно оказывается принятием решений в условиях неопределенности. Наоборот, фактор неопределенности можно интерпретировать как противника субъекта, принимающего решения (тем самым принятие решений в условиях неопределенности можно понимать как принятие решений в условиях конфликта). В частности, многие утверждения математической статистики естественным образом формулируются как теоретико-игровые. Лог. основой И. т. является формализация трех понятий, входящих в ее определение и являющихся фундаментальными для всей теории: конфликта, принятия решения в нем иоптимальности этого решения. Эти понятия рассматриваются в И. т. в наиболее широком смысле. Их формализации отвечают содержательным представлениям о соответствующих объектах. Содержательно конфликтом естественно считать всякое явление, относительно которого можно говорить о его участниках, об их действиях, об исходах явления, к которым эти действия приводят, о сторонах, так или иначе заинтересованных в этих исходах и о сущности этой заинтересованности. Если назвать участников конфликта коалициями действия (обозначив их мн-во через
), возможные действия каждой из коалиций действия — ее стратегиями (мн-во всех стратегий коалиции действия К обозначается через S), исходы конфликта — ситуациями (мн-во всех ситуаций обозначается через S; считается, что каждая ситуация складывается в результате выбора каждой из коалиций действия некоторой своей стратегии, так что S с П S), заинтересованные стороны — коалициями интересов (их мн-во —
) и, наконец, говорить о возможной предпочтительности для каждой коалиции интересов К одной ситуации s перед другой s" (этот факт обозначается как
то конфликт в целом будет описан как система
Такая система, представляющая конфликт, наз. игрой. Конкретизации задающих игру компонент приводят к разнообразным частным классам игр.
Если в игре имеется лишь одна коалиция действия К, можно считать, что мн-во ситуаций S совпадает с мн-вом стратегий Получаемые так игры наз. нестратегическими. К их числу относятся игры без побочных платежей и классические игры кооперативные, вместе с их различными разновидностями. Если в игре мн-ва коалиций действия и коалиций интересов совпадают 
в этом случае и те и другие коалиции наз. игроками), 
а отношения предпочтения задаются ф-циями выигрыша, то получаются игры бескоалиционные. Их частными классами являются игры антагонистические, в т. ч. игры матричные и игры на единичном квадрате. Игры динамические, в т. ч. игры дифференциальные, игры рекурсивные, игры на выживание и др. также принадлежат к бескоалиционным играм.
И. т. широко пользуется различными матем. методами и результатами из вероятностей теории, классического анализа, функционального анализа (особенно важны теоремы о неподвижных точках), комбинаторной топологии, теории дифф. и интегр. ур-ний и др. Специфика И. т. способствует разработке для нее различных матем. направлений (напр., теория выпуклых множеств, программирование линейное и т. д.).
Принятием решения в И. т. считается выбор коалиций действия или, в частности, выбор игроком некоторой своей стратегии. Этот выбор можно представлять себе в виде однократного действия и сводить формально к выбору
элемента из мн-ва. Игры с таким пониманием выбора стратегий наз. играми в нормальной форме. Им противостоят динамические игры, в которых выбор стратегии является развертывающимся во времени процессом, сопровождающимся расширением и сужением возможностей, приобретением и утратой информации о текущем положении дел и т. п. Формально стратегией в такой игре является функция, определенная на мн-ве всех информационных состояний субъекта, принимающего решения. Некритическое использование «свободы выбора» стратегий может приводить к парадоксальным явлениям.
Вопрос о формализации понятия оптимальности является весьма сложным. Единого представления об оптимальности в И. т. нет, поэтому приходится рассматривать несколько различных оптимальности принципов. Область применимости каждого из употребляемых в И. т. принципов оптимальности ограничивается сравнительно узкими классами игр или же касается ограниченных аспектов их рассмотрения. В основе каждого из этих принципов лежат некоторые интуитивные представления об оптимуме, как о чем-то «устойчивом» или «справедливом». Формализация этих представлений дает предъявляемые к оптимуму требования, которые носят характер аксиом. Среди этих требований могут оказаться противоречащие друг другу (напр., можно указать конфликты, в которых стороны вынуждены довольствоваться скромными выигрышами, т. к. крупные выигрыши достигаются лишь в неустойчивых ситуациях); поэтому в И. т. и не может быть сформулирован единый принцип оптимальности.
Ситуации (или мн-ва ситуаций), удовлетворяющие в некоторой игре тем или иным требованиям оптимальности, наз. решениями этой игры. Поскольку представления об оптимальности не являются однозначными, можно говорить о решениях игр в различных смыслах. Выработка определений решений игр, доказательства их существования и разработка способов их фактического нахождения — три осн. вопроса современной И. т. Близкими к ним являются вопросы о единственности решений игр, о существовании в тех или иных классах игр решений, обладающих некоторыми предписанными свойствами.
И. т. как матем. дисциплина зародилась одновременно с теорией вероятностей в середине 17 ст., но в течение почти 300 лет практически не развивалась. Первой существенной работой по И. т. следует считать статью Дж. фон Неймана «К теории стратегических игр» (1928), а с выходом в свет монографии амер. математиков Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение» (1944) И. т. сформировалась как самостоятельная матем. дисциплина. В отличие от др. областей математики, имеющих по преимуществу физ. или физико-тех. происхождение, И. т. с самого начала своего развития была направлена на решение задач, возникающих в экономике (именно, в конкурентной экономике). В дальнейшем идеи, методы и результаты И. т. стали применять в др. областях знаний, имеющих дело с конфликтами: в военном деле, в вопросах морали, при изучении массового поведения индивидов, наделенных различными интересами (напр., в вопросах миграции населения или при рассмотрении биол. борьбы за существование). Теоретикоигровые методы принятия оптим. решений, в условиях неопределенности могут найти широкое применение в медицине, в эконом, и социальном планировании и прогнозировании, в ряде вопросов техники и т. д. Иногда И. т. относят к матем. аппарату кибернетики.
В И. т. используются те же методы, что и в остальной математике. Принципы оптимальности вырабатываются аксиоматически, существование решений устанавливается путем абстрактных рассуждений, а находят их в результате применения аналитического аппарата (нередко — весьма громоздкого и изощренного) или же приближенных численных методов (иногда — при реализации на ЭВМ). Кроме того, в И. т. большое значение приобретают экспериментальные методы, состоящие в многократном воспроизведении исследуемой игры путем ее фактического разыгрывания людьми (экспериментальные игры, деловые игры) или же путем цифрового моделирования. Последний способ особенно часто применяется при исследовании игр автоматов.
Науч. результаты, достигнутые в И. т., многочисленны и разнообразны. Сформулировано значительное число принципов оптимальности, приложимых к различным классам игр. Некоторые из них (напр., осуществимости цели принцип, приводящий к т. н. ситуациям равновесия, индивидуальные отклонения от которых не могут сопровождаться увеличением выигрыша, его частный случай — максимина принцип, характеристическая функция в кооперативной игре, теория Неймана — Морген-штерна, Шепли вектор, и др.) отражают естественные представления об оптимальном («справедливом»), другие, пока немногочисленные (критерий Милнора), задаются исчерпывающим образом своими интуитивно ясными чертами, но в целом они носят «синтетический» характер и лишены наглядности. В И. т. доказано большое число теорем существования, устанавливающих фактическую реализуемость принципов оптимальности для соответствующих классов игр. В стратегических играх эта реализуемость достигается не непосредственно, а, как это типично для математики, за счет расширения первоначально заданного мн-ва стратегий. Именно, на исходных мн-вах стратегий вводятся в рассмотрение вероятностные меры, которые объявляются «обобщенными» стратегиями смешанными. В тех случаях, когда и этого недостаточно, приходится вводить конечно-аддитивные меры. Существование ситуаций равновесия в смешанных стратегиях (и тем более — в счетно-аддитивных стратегиях) по существу покрывает все практические потребности. В нестратегических играх это можно сказать лишь о векторе Шепли, а также о
К-ядре и n-ядре. Вопрос о том, имеет ли игра решение по Нейману — Моргенштерну, принадлежит к числу наиболее сложных: наряду с довольно широкими классами разрешимых игр известны и примеры неразрешимых игр.
Задача нахождения решений игр решена лишь для отдельных узких, хотя и довольно многочисленных классов игр. Нет единого способа нахождения решений даже для игр на единичном квадрате с непрерывной ф-цией выигрыша. Достигнутые успехи получены в результате использования сложного матем. аппарата. В теории нестратегических игр лишь намечается создание некоторой единой матем. теории, а большинство результатов получено конкретными, каждый раз индивидуальными, комбинаторными рассуждениями. В целом вся проблема осложняется тем, что часто решение игры оказывается неоднозначным и исчерпывающий анализ игры требует полного перечисления всех ее решений. Лишь в отдельных, исключительных случаях решение игры поддается описанию посредством ф-л. Большей частью оно формулируется в виде алгоритмов (напр., для матричных игр это — алгоритм решения стандартной задачи линейного программирования). Это затрудняет оценку зависимости параметров решений игры от параметров самой игры. К тому же эта зависимость, как правило, не является непрерывной.
В последнее время в И. т. все большее внимание уделяется разработке разного рода исчислений игр, алгебр игр, пространств игр и т. д. Устанавливаются закономерности, позволяющие сводить анализ одних игр к анализу других игр, в том или ином смысле более просто устроенных. Достигаемые при этом упрощения носят обычно количественный характер. Так, бескоалиционные игры с большим числом игроков не всегда удается свести к последовательному анализу системы игр с меньшим числом игроков каждая. Разрабатываются операции на ряде достаточно резко очерченных классов игр (напр., суммы и произведения простых игр). Рассматриваются случайные игры, т. е. мн-ва однотипных игр с вероятностными мерами на них. В случайных играх некоторые свойства решений (напр., существование в случайных матричных играх седловых точек в стратегиях чистых) оказываются случайными событиями, вероятности которых поддаются вычислению. Исследуются топологические пространства игр и подм-ва их, выделяющиеся свойствами совокупности решений игры (напр., единственностью решения).
Лит.: Матричные игры. М., 1961; Бесконечные антагонистические игры. М., 1963; Позиционные игры. М., 1967; Первая Всесоюзная конференция по теории игр. Ереван, 1970; Воробьев Н. Н. Современное состояние теории игр. «Успехи математических наук», 1970, т. 25, № 2; Contributions to the theory of games, v. 1-3,6. Princeton, 1950-59; Льюс P. Д., Райфа X. Игры и решения. Пер. с англ. М., 1961 [библиогр. с. 608—625]; Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. Пер. с англ. М., 1964 [библиогр. с. 798-818]; Klaus G. Spieltheorie in phiiosophischer Sicht. Berlin, 1968; Нейман Дж. фон. Морген-Штерн О. Теория игр и экономическое поведение. Пер. с англ. М., 1970 [библиогр. с. 695—702].
Н. Н. Воробьев,
