ЛОГИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ, формальная логика
— дедуктивная математическая теория, которая исследует схемы или формы истинных высказываний, имеющих наибольшую степень общности, т. е. схемы высказываний, истинных для произвольных совокупностей объектов. Она тесно связана с традиционной логикой, т. е. наукой о построении правильных умозаключений: каждой теореме Л. м., содержащей некоторые условия, однозначно соответствует схема правильного умозаключения.
составляет основу современной логики, вне ее рамок оказываются лишь немногие направления — индуктивная логика, диалектическая логика. К . л. м. в широком смысле, кроме собственно логич. исчислений, относят ряд матем. наук, возникших под влиянием запросов логики, таких, как моделей теория, алгоритмов теория, различные алгебры, возникшие при исследовании логич. конструкций, и др. К. л. м. относят и конкретные исследования разных науч. теорий, проводимые с целью выяснения их логич. непротиворечивости и дедукционкых возможностей, напр., вопросы оснований математики, логич. исследования языков и т. п. Некоторые из этих теорий тесно связаны с Л. м., другие — отделились от нее и приобрели самостоятельное значение (напр., булевы алгебры), так что четко очертить границы Л. м. довольно тоудно. В более узком смысле, под термином «Л. м.» понимают науку, объектом изучения которой является математика и другие дедуктивные системы, точнее логическая состоятельность проводимых в них выводов и конструкций, т. е. этот термин относят к логике, развивающейся сообразно потребностям математики. Ее наз. также метаматематикой или металогикой.
Логика — наука о построении правильных умозаключений чисто формальным путем, когда исходят из вида посылок, а не их содержания, насчитывает многовековую историю. Довольно большая часть формальной логики была изложена в виде фигур силлогизмов (см. Силлогистика) в трудах Аристотеля. В таком виде формальная логика развивалась до середины 19 в. Ее разрабатывали как одно из направлений философии, но заметного практического применения она не находила. В середине 19 в. были предприняты попытки представить логику в виде алгебр, системы и изучать ее теми же методами, что и другие разделы математики. Это направление, первые успешные шаги в разработке которого сделал англ. математик Дж. Буль (1815—64), оказалось чрезвычайно плодотворным. В настоящее время алгебра логики играет важную теор. и практическую роль. Несколько позже были предприняты попытки найти в логике обоснование математики. Первые работы в этом направлении принадлежат нем. логику Г. Фреге (1848—1925), англ. ученым А. Уайтхеду (1861—1947) и Б. Расселу (1872—1971). А. Уайтхед и Б. Рассел разработали теорию типов, свободную от известных антиномий теории множеств, в т. ч. и от антиномии Рассела, которая имеет место в системе Фреге. В работах Фреге, Уайтхеда и Рассела была разработана логика предикатов, причем в работах Уайтхеда и Рассела она была тесно переплетена с теорией типов. Большой вклад в развитие современной л. м. внес нем. математик Д. Гильберт (1862—1943). Хотя выдвинутая им программа обоснования математики оказалась несостоятельной (см. Формализм в математике, Гёделя теоремы о неполноте), однако при попытке ее осуществления были в значительной степени разработаны проблемы логики. В частности, Д. Гильберт выделил исчисление предикатов как систему, не зависящую
от теории типов. Дальнейшее развитие л. м. было связано в основном с запросами математики. Большие заслуги здесь принадлежат австр. математику К. Гёделю (р. 1906), амер. математику А. Черчу (р. 1903), сов. математику А. И. Мальцеву (1909—68), амер. математику А. Тарскому (р. 1902) и др.
Основу современной л. м. составляют — исчисление высказываний и исчисление предикатов. Первое оперирует высказываниями (утверждениями), выступающими как единое целое, не рассматривая их субъектно-предикатной структуры. Сложные высказывания получаются из более простых при помощи логич. связок. В исчислении высказываний употребляются не конкретные высказывания, а высказывательные переменные, поэтому здесь изучаются не конкретные высказывания, а высказывательные ф-ции, которые превращаются в высказывания, если все входящие в них высказывательные переменные заменить высказываниями. Истинность или ложность полученного сложного высказывания зависит только от истинности или ложности составляющих высказываний и не зависит от их содержания. Изучение этого исчисления как алгебр, системы составляет предмет алгебры логики.
Все понятия и теоремы исчисления высказываний употребляются в более широкой логич. теории, называемой исчислением предикатов, в котором, в отличие от исчисления высказываний, рассматривают внутр. структуру простых высказываний, из которых потом составляют сложные высказывания. А именно: в высказывании выделяют подлежащее и сказуемое (предикат). Если в данном предложении удалить подлежащее и на его место подставить другое подлежащее, — получим другое высказывание. Т. о., сказуемое (предикат) представляет собой высказывательную форму, определенную на множестве объектов, которые могут выступать в качестве подлежащих. Язык исчисления предикатов намного выразительнее, чем язык исчисления высказываний, с его помощью удается выразить значительные фрагменты математики (см. Элементарные теории). Область применений Л. м. расширяется л. м., кроме изучения построения правильных рассуждений в обычном языке, занимается анализом осн. понятий в науке (в частности, в математике). Для этого она привлекает понятия множеств теории или арифметики. Таким образом, Л. м. нашла широкое применение в методологии науки. Новой и очень перспективной областью применения Л. м. является кибернетика. Кибернетика не только использует результаты, полученные ранее в Л. м., но и стимулирует новые исследования и появление новых науч. направлений. Напр., связь между релейно-контактными схемами и формулами алгебры логики стимулировала развитие алгебры логики. Вопросы полноты ф-ций алгебры логики, их декомпозиции и минимизации разработаны благодаря поиску методов синтеза оптим. схем.
Л. м. широко применяли также в автоматов теории, в частности, для описания функционирования автоматов, для задания условий функционирования автоматов, для изучения их вычисл. способности (см. Меры сложности в теории автоматов). Перспективным направлением кибернетики является исследование возможностей применения машин для доказательств теорем (см. Автоматизированный поиск доказательств теорем, Доказательство теорем на ЭВМ). Развитие таких направлений, как теория предсказаний, автоматизация диагностики и др. требует разработки соответствующих логич. систем в рамках логик неклассических. Важные работы проводятся по логич. исследованию естественных и искусственных языков (см. Лингвистика математическая, Языки программирования).
Лит.: «Труды Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР», 1958, т. 51; Глушков В. М. Введение в кибернетику. К., 1964 [библиогр. с. 319-322]; Мендельсон Э. Введение в математическую логику. Пер. с англ. М., 1971 [библиогр. с. 296— 309]; Клини С. К. Математическая логика. Пер. с англ. М., 1973 [библиогр. с. 451—465].
В. М. Глушков, М. И. Кратко.
