АБСТРАКЦИЯ АКТУАЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ

— одна из основных абстракций математики и логики. Состоит в отвлечении от незавершенности (и незавершимости) процесса построения бесконечного множества. А. а. б. позволяет представлять бесконечные множества, иапр., бесконечные числовые множества (натуральных, целых, действительных и т. п. чисел) как построенные (существующие) объекты, независимо от процесса образования всех их элементов. При этом может существовать способ построения произвольного элемента такого множества, но заведомо не существует способа построения бесконечного множества как данного сразу всеми своими элементами. Превращая бесконечные множества в допустимые, существующие (существующим считается любой объект, определение которого не приводит к логич. противоречиям) объекты, А. а. б. открывает тем самым путь к такому изучению их, в котором используются средства логики (в частности, исключенного третьего закон), отработанные на конечных множествах. А. а. б. составляет идейную основу множеств теории и основанной на ней математики, т. н. классической математики, и классической логики. А. а. б. отвергается однако сторонниками интуиционизма и представителями конструктивного направления в математике и логике. Для конструктивистов неприемлем неконструктивный характер объектов, вводимых с помощью А. а. б., и они развивают такое построение математики и логики, которое не использует А. а. б.

Лит.: Кантор Г. Основы общего учения о многообразиях. В кн.: Новые идеи в математике, сб. 145 6. СПБ, 1914; Богомолов С. А. Актуальная бесконечность. Л.: М., 1934; Петров Ю. А. Логические проблемы абстракций бесконечности и осуществимости. М., 1967 [библиогр. с. 160—162].

Б. В. Бирюков, Ю. А. Петров.