ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ЧИСЛЕННОЕ

— приближенное вычисление значений производных указанных порядков от функции, заданной таблично или аналитически. Один из методов вычисления производных от ф-ции , заданной таблицей ее значений в узлах заключается и следующем: ф-цию на интересующем нас отрезке заменяют интерполирующей ф-цией всего многочленом -ой степени) и считают, что производная

при Выбор интерполяционной ф-лы зависит от того, какая дана система узлои сетки для и при каких значениях нужно вычислить производные. Напр., если значения заданы для равноотстоящих значений аргумента с шагом h и значение производной порядка нужно вычислить для лежащих вблизи узла , то в качестве интерполяционного многочлена Интерполирование функций) выбирают многочлен Ньютона для интерполирования вперед. Тогда будут иметь вид

где восходящая конечная разность порядка от функции

В частности,

Аналогично, если воспользоваться интерполяционными ф-лами Ньютона для интерполирования назад и ф-лами Бесселя, можно найти производные порядка для расположенных соответственно вблизи конца и середины табл. В частности,

сходящая конечная разность порядка.

Приближенное дифференцирование с использованием интерполяционных многочленов — менее точная операция, чем интерполироиание, так как близость друг к другу двух ординат кривых на отрезке еще не гарантирует близости на этом отрезке их производных. Особо важное значение при вычислении производных имеют вопросы оценки погрешностей. Погрешность метода, или остаточный член, при использовании интерполяционных ф-л имеет вид

где Выражение для остаточного члена значительно упрощается, если находится вне отрезка Тогда, если раз дифференцируемая ф-ция на наименьшем отрезке содержащем узлы интерполирования и точку то

Для получения практической оценки модуля остаточного члена оценивают макс. значение на . В некоторых случаях выгоднее выражать значение производных в узле сетки непосредственно через значения ф-ции. Построить такие ф-лы можно, пользуясь интерполяционным многочленом Лагранжа или разложением в ряд Тейлора выражения в окрестности точки При этом коэффициент подбирают так, чтобы разложение А в ряд Тейлора не содержало , где — целое положительное число) и содержало значение с множителем, равным единице. Тогда

Чтобы определить сначала надо получить систему ур-ний, решение которой находится в замкнутом виде. Оценка остаточного члена имеет вид

В случае, когда точки сетки равноотстоящие, сравнение различных ф-л вида (2) показывает, что наиболее простыми и точными из них будут ф-лы, когда производная вычисляется в среднем узле причем выражение А строится по нечетному числу узлов, лежащих по обе

роны от . Приведем некоторые из таких формул:

Выражение вида А можно составить не только для представления производной заданного порядка в узле х, но и для представления любого линейного дифф. агрегата где заданные непрерывные ф-ции. Это используют при численном решении краевых задач для обыкновенных дифф. ур-ний.

При Д. ч. по ф-лам (1), (2) нужно принимать во внимание также величину неустранимой погрешности, возникающей за счет того, что нам известны не точные значения ф-ции в узлах сетки, а приближенные . В случае дифференцирования по ф-лам неустранимая погрешность

Задача отыскания производной по экспериментальной случайной функции значительно отличается от задачи дифференцирования ф-ции, для которой известны точные данные. В этом случае наблюдения не свободны от случайных значительных ошибок, а отношение очень чувствительно даже к небольшим ошибкам, если становится весьма малым. Поэтому обычные могут сильно искажать результаты. Для решения такой задачи при достаточно плотном ряде исходных значений можно воспользоваться сглаживанием эмпирических данных с использованием метода наименьших квадратов (см. Аппроксимация функции среднеквадратичная). Предположим, что точные данные на протяжении нескольких равноотстоящих измерений мало отличаются от соответствующих ординат параболы . Пусть, папр., это имеет место, если комбинировать измерение в точке с двумя соседними (слева и справа). Чтобы подобрать три параметра к пяти исходным данным, пользуются наименьших квадратов методом, т. е. находят минимум величины выбором параметров а, бис.

Если нужно исправить значение находят лишь значение параметра с. Аналогично находят исправленное значение производной в точке . При этом надо иметь искомое значение параметра b. В результате

Если использовать не две, а соседних точек с обеих сторон от точки , то для лежащих внутри промежутка имеют вид

Аналогичный прием применяют для построения значений производных в крайних узлах интерполяции, но сглаживание эмпирических данных происходит только за счет точек, лежащих слева (или справа) от соответствующих крайних точек. Если, напр., сглаживание в начале кривой производить по четырем точкам, лежащим справа от точки то

Для вычисления значений второй производной производят сглаживание значений первой производной по методу наименьших квадратов и, приняв их за исходные, находят выражение для второй производной. В последнее время указанный метод получил дальнейшее развитие на основе теории сплайновой аппроксимации функций.

Задача восстановления производной по ф-ции, заданной экспериментально, принадлежит к числу некорректно поставленных задач. Поэтому восстанавливать производную можно, используя метод регуляризации Тихонова (см. Некорректно поставленных задач способы решения). Пусть непрерывно дифференцируема на отрезке . Тогда ее производная, по определению, удовлетворяет интегр. ур-нию Вольтерры 1-го рода

для решения которого и применяют метод регуляризации. Отыскание производной можно

также свести к решению интегрального ур-ния вида

с непрерывным ядром

и правой частью

Решение этого ур-ния находят также методом регуляризации. Для отыскания производных высших порядков можно поступить аналогично. Метод регуляризации может быть применен для устойчивого нахождения линейной комбинации вида по экспериментальным данным f(x). Результаты вычислений подтверждают преимущества метода регуляризации, когда погрешность данных сравнима по порядку с шагом сетки.

В практических приложениях важным является следующий способ Д. ч.: если найдена , для которой и известно, что , то

Знак или и значения должны быть выбраны так, чтобы аргументы и g попали в области определения этих ф-ций. В общем случае неправильно полагать, что . Но если периодическая ф-ция на отрезке тригонометрический многочлен порядка , то причем

где - величина наилучшего приближения тригонометрическими многочленами порядка (см. Аппроксимация функций равномерная). В частности, для любой ф-ции

если существует производная на . Возьмем за многочлен тригонометрической интерполяции

Тогда

Допустим еще, что значения известны с погрешностью, не превышающей е. В таком случае

Во всех приведенных выше ф-лах для получения полной погрешности Д. ч. необходимо учитывать и погрешность реализации ф-л на вычисл. машинах (см. Погрешностей вычислений теория).

В инженерной практике для Д. ч. применяют различные моделирующие приборы.

Лит.: Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений, т. 1. М., 1966; Иванов В. В. Анализ точности вычислительных алгоритмов. «Журнал вычислительной математики и математической физики», 1970, т. 10, 2; Численный анализ на ФОРТРАНе, в. 6. М., 1974; Л анцош К. Практические методы прикладного анализа. Справочное руководство. Пер. с англ. М., 1961.

В. В. Иванов, А. А. Скоробогатько.