КОШИ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ.

Задача Коши (з. К.) для системы обыкновенных дифф. ур-ний (о. д. у.) сформировалась в связи с необходимостью решения некоторых типичных задач естествознания. Эти задачи являются, как правило, задачами с начальными условиями для канонических систем. Такие задачи обычно преобразуют к виду з. К. для нормальной системы о. д. у. Ниже излагаются некоторые способы решения преимущественно последней задачи.

В квадратурах з. К. для о. д. у. решается весьма редко. Особый интерес в этой связи представляет случай, когда система о. д. у. является линейной. В общем случае вопрос о конструировании приближений решения з. К. для о. д. у. связывают с вопросом о существовании этого решения. Теорему существования обычно доказывают либо методом последовательных приближений Пикара, либо методом ломаных Эйлера; условие единственности можно выбирать или в форме Липшица, или в другой форме за рамками теоремы существования.

Метод Пикара получил свое дальнейшее развитие в методе двусторонних приближений Чаплыгина, центр, частью которого является теория дифф. неравенств. Однако методы Пикара и Чаплыгина при реализации их на ЭВМ с фиксированной разрядной сеткой могут приводить к неустойчивым вычислениям. Наиболее приспособленными методами приближенного решения з. К. для о. д. у. на ЭВМ с фиксированной разрядной сеткой оказались т. н. разностные методы, которые возникли в результате обобщения метода Эйлера. Идея этого метода состоит в том, что з. К. для ур-ния

сводят к з. К. для разностного ур-ния

называемого ныне ур-нием Эйлера, где прибл. значение для точного решения з. К. для о. д. у.

Рассматривая для ур-ния (2) задачи (названные позднее задачами Коши) прежде всего как метод приближенного решения з. К. для о. д. у. (1), Эйлер стремился уточнить его. С этой целью он построил асимптотическое разложение

где h — шаг интегрирования, узлы сетки. С помощью этого разложения ему удалось понять причины низкой точности метода, определяемого ур-нием (2) (оно получается из (3) при в результате отбрасывания остаточного члена и замены через и наметить пути их устранения. Однако методы высших степеней (степенью метода наз. наивысшая степень многочлена, для которого метод точен), построенные с помощью разложения (3), оказались громоздкими из-за сложности вычислений, необходимых для получения

Стремясь обойти названную выше трудность, англ. матем. Дж. Адамс в результате интегрирования о. д. у. (1) вдоль искомого решения и замены подинтегр. ф-ции интерполяционным многочленом в форме Лагранжа (см. Интерполирование функций) получил асимптотическое разложение, аналогичное (3):

где — степень интерполяционного многочлена, — числа, получаемые в результате интегрирования коэфф. Лагранжа. Из (4) получаются т. н. ф-лы Адамса, которые приводятся в разностной форме:

или экстраполяционная, и

или интерполяционная формула, Разность назад, Аналогичным способом получаются ф-ла Нистрема

явная и ф-ла центральных разностей

- неявная. Последние две ф-лы наз. ф-лами типа Адамса. По явным ф-лам обычно производят счет с шагом h и пересчет с шагом или ; шаг выбирают из требования, чтобы полученные в результате этого приближенные решения отличались друг от друга не более, чем на наперед заданную величину. Неявные ф-лы составляют основу предсказы-вающе-исправляющих методов, методов Адамса: по явной ф-ле производится счет с шагом h (предсказание), затем по неявной ф-ле степени, на единицу большей, чем степень явной ф-лы, с шагом h производится «исправление». Шаг h выбирается, исходя из требования, чтобы предсказанное и исправленное «решения» отличались друг от друга не более, чем на наперед заданную величину. Ф-лы Адамса, приведенные выше ф-лы типа Адамса, и другие ф-лы того же типа фиксированной степени в ординатной форме можно записать так:

где — целые числа, действительные числа, Недостающие начальные значения для выбираются так, чтобы разность между двумя начальными значениями имела по крайней мере порядок О (К). Значения и получаются либо в результате преобразования ф-л Адамса и ф-л типа Адамса, приведенных выше, либо методом неопределенных коэфф. при заданных , исходя из требований: 1) разрешимости ур-ния (5) с соответствующими начальными значениями; 2) сходимости метода, определяемого ф-лой (5) с соответствующими начальными значениями; 3) максимальности степени аппроксимации ур-ния (1) ур-нием (5), т. е. из требования, чтобы в разложении натуральное s было максимальным. При получаются явные ф-лы, при неявные, при неявные с забеганием вперед; при или Адамса.

В связи с тем, что разностное ур-ние (5) имеет порядок, вообще говоря, выше первого, возникает вопрос об устойчивости метода, определяемого ф-лой (5), решение которого сводится к требованию, чтобы разностный оператор был устойчивым или условно устойчивым по Ляпунову. При устойчивые методы вида (5) могут быть самое большее — степени при четном возможны устойчивые ф-лы степени напр., ф-ла Симпсона степень которой равна 4.

С целью преодоления трудности, возникшей у Л. Эйлера, нем. математики К. Рунге и В. Кутта построили еще одно асимптотическое разложение для

где — заданное натуральное число, причем некоторые действительные числа, получаемые, исходя из требования, чтобы в разложении (6) натуральное s, называемое степенью метода, было максимальным (эти числа определяются, вообще говоря, неоднозначно). Ниже приводятся примеры ф-л Рунге — Кутты: при

Адамса, типа Адамса и Рунге — Кутты, как известно, распространяются на случай системы о. д. у.

Важной положительной особенностью методов Рунге — Кутты по сравнению с методами Адамса и типа Адамса является то, что они допускают расчеты на неравномерных сетках, а последние предполагают равномерные сетки. Если задана неравномерная сетка подразбивающая отрезок то числа шагами сетки ее нормой. Положительное число и положительная непрерывно-дифференцируемая на ф-ция соответственно параметром и ф-цией распределения шагов сетки если и Для произвольной сетки существует ф-ция распределения шагов, при которой параметр равен ее норме. Ф-лы Рунге — Кутты всегда явные, и поэтому шаги сетки интегрирования по ним можно находить способом «счета и пересчета».

Для метода Адамса или устойчивого (условно устойчивого) метода типа Адамса или метода Рунге — Кутты степени s на соответствующей произвольной сетке при достаточной гладкости вектор-функции справедлива мажорантная априорная оценка погрешности метода

равномерная относительно к, обеспечивающая сходимость каждого из названных методов. Она не пригодна для расчета шагов из-за ее грубости. Более точной оценкой погрешности названных методов служит априорное асимптотическое ее разложение

справедливое при достаточной гладкости вектор-функции , где С — константа, являющаяся функционалом от применяемого метода, матрицант матрицы значение вдоль графика дифф. оператора определяемого равенством для метода Адамса или типа Адамса и равенством для метода Рунге — Кутты; для метода Адамса или типа Адамса К следует положить равным шагу h равномерной сетки при . Апостериорное асимптотическое разложение погрешности названных методов можно получить из разложения (8) в результате замены в нем точного решения кусочно-линейным континуальным заполнением приближенного решения заполнением сеточной ф-ции ф-ция удовлетворяющая условию .

Доказано, что среди неявных устойчивых ф-л типа Адамса наивысшей степени при четном не существует ф-лы, для которой константа С в разложении (8) достигает минимума, т. е. оптим. ф-лы типа Адамса. Однако можно построить ф-лы типа Адамса, близкие к оптимальным.

При интегрировании з. К. для о. д. у. (1) на отрезке методом Рунге — Кутты можно построить сетку которая на совокупности сеток, удовлетворяющих условию нормировки а, обеспечивает минимум функционала при условии, что ф-ция не меняет знака на отрезке Такие сетки наз. асимптотически оптимальными. Если после этого параметр К выбрать так, чтобы вдоль сетки мера погрешности соответствующего прибл. решения не превышала наперед заданной величины, то получится асимптотически оптим. сетка, обеспечивающая асимптотически гарантированную меру погрешности прибл. решения (см. Погрешностей вычислений теория).

При реализации на ЭВМ с фиксированной разрядной сеткой того или иного из описанных выше методов решения з. К. для о. д. у. (1) из-за погрешности округления, вместо сеточной ф-ции , получается сеточная ф-ция называемая численным решением рассматриваемой задачи. Разность является погрешностью за счет округлений, а разность полной погрешностью численного решения. При этом неустранимая погрешность, происходящая из-за погрешности входной информации, считается равной нулю, ибо решаемая з. К. рассматривается пока как точно поставленная.

Традиционный подход к учету погрешности за счет округлений, выработанный в вычислительной математике, состоит в том, что осуществляется такая организация счета, при которой мера погрешности метода оказывается значительно больше, чем мера погрешности за счет округлений. Этот принцип можно сформулировать в виде требования, чтобы главный член асимптотического разложения полной погрешности совпадал с главным членом асимптотического разложения погрешности метода: . Последнее составляет условие выбора шагов сетки прибл. интегрирования. Численные эксперименты на модельных задачах подтверждают существование таких шагов, которые принято называть асимптотическими.

Из сказанного явствует, что выбор сетки при интегрировании с заданной мерой погрешности з. К. для о. д. у. описанными выше методами представляет большие трудности. Поэтому возникли двусторонние разностные методы как типа Адамса, так и типа Рунге — Кутты. Рассмотрим последние, так как первые не привели к удовлетворительным алгоритмам. Преимущество двусторонних методов заключается в том, что если за прибл. решение з. К. для ур-ния (1) принять полусумму двусторонних приближений, то их полуразность составит тонкую мажорантную оценку погрешности этого приближения.

Двусторонние методы типа Рунге — Кутты получаются, исходя из требований, чтобы в асимптотическом разложении

натуральное s принимало макс. значение и а было параметром. Пары двусторонних ф-л

получаются, если а придавать значения противоположных знаков с одинаковыми модулями. Двусторонность приближений достигается выбором достаточно малых шагов (и, может быть, значений а), исходя из требования, чтобы знак разложения (9) совпадал со знаком его главного члена. Кроме того, при выборе шагов (и значений а) учитываются требования, чтобы мера вычисл. погрешности численного решения была существенно меньше меры погрешности метода, и требование гарантированной оценки меры полной погрешности численного решения. Приведем примеры двусторонних ф-л:

Большое к-во пар ф-л в одном алгоритме используется в связи с необходимостью «обходить» нули оператора .

Понятие неустранимой погрешности по своей природе выходит за рамки вычисл. математики, ибо ее изменение связано с изменением погрешности входной информации, получаемой, как правило, экспериментально. Оценка же неустранимой погрешности может быть полезной при определении целесообразной погрешности, с которой должна решаться рассматриваемая задача.

Основу для получения оценок неустранимой погрешности составляют т. и. ур-ния в вариациях. Пусть з. К. для о. д. у.

обозначает «точное» матем. описание некоторой естественнонаучной задачи, а з. К. для о. д. у. (1) — приближенное и заданное ее описание.

Пусть — точное решение названной з. К. для о. д. у. (10). Тогда ур-ние в вариациях для ур-ния (1) запишется так:

где матрица порядка, элемент которой равен нулю, если в противном случае равен соответствующей частной разделенной разности ф-ции по переменной размерность вектора у. Поскольку на практике весьма часто з. К. для ур-ния (10) отличается от з. К. для ур-ния (1) лишь начальными условиями, целесообразно назвать способы оценки вектор-функции и при В этом случае весьма тонкие оценки могут быть получены либо с помощью многочисленных модификаций метода двусторонних приближений Чаплыгина с учетом необходимых конкретных свойств ур-ния (11), либо с помощью 2-го метода Ляпунова, если какая-либо норма любого решения ур-ния (11) монотонно не возрастает, либо с помощью иного тонкого метода, учитывающего конкретные свойства ур-ния (11). Пусть — симметричная квадратичная форма от и с коэффициентами, быть может, зависящими от представляющая квадрат названной нормы, а максимум полной производной от по в силу ур-ния (11), вычисленный в ограниченной замкнутой части пространства, содержащей решение и Тогда справедлива оценка

где — дискриминант формы минор, получающийся из вычеркиванием строки и столбца.

В случае, если для получения тонких оценок вектор-функции и можно применять уже названные методы или их обобщения.

Для решения з. К. для о. д. у. с невысокой точностью можно применять аналоговые устройства. 3. К. системы канонических ур-ний, каждое из которых является ур-нием 2-го порядка, встречается весьма часо. В связи с этим для таких з. К. разработаны неопосредованные способы приближенного решения, аналогичные упомянутым выше. Лит.: Горбунов А. Д. Разностные уравнения и разностные методы решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1967; Гайсарян С. С. О выборе оптимальных сеток при численном интегрировании задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В кн.: Вопросы точности и эффективности вычислительных алгоритмов, в. 2. К., 1969; Бахвалов H. С. Лекции по численным методам решения обыкновенных дифференциальных уравнений. В кн.: Материалы Международной летней школы по численным методам, в. 2. К., 1970 [библиогр. с. 127—135]. А. Д. Горбунов.