ЗАДАЧА С ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ

— одна из задач вариационного исчисления. Формулируется так: пусть в -мерном пространстве переменных заданы поверхности и соответственно ур-ниям

и функционал

Назовем кривую допустимой, если на ней функционал I определен, а концы ее лежат на поверхностях с п. к. заключается в отыскании среди всех допустимых кривых такой, которая обеспечивает минимум функционалу I.

Для получения тех или иных условий, характеризующих эту кривую, на ф-ции обычно в вариационном исчислении) налагают определенные ограничения (непрерывность, дифференцируемость и т. д.). В случае, если одна из поверхностей или вырождается в точку пространства получаем задачу с одним подвижным и одним фиксированным концом; если обе поверхности 5, и вырождаются в точки, получаем задачу с фиксированными концами.

Поскольку задача с фиксированными концами является частным случаем 3. с п. к., то кривая, доставляющая минимум функционалу I в задаче (1—3), должна удовлетворять всем известным для задачи с фиксированными концами необходимым условиям минимума. В частности, в случае достаточной гладкости, она должна удовлетворять ур-ниям Эйлера

Интегральные кривые системы экстремалями. Однако в рассматриваемой задаче нужно дополнительно определять положение концов кривой на поверхностях . Это достигается с помощью условий трансверсальности. Говорят, что допустимая кривая удовлетворяет условиям трансверсальности, если для любых векторов

, касательных к поверхностям выполняются условия

Для того, чтобы кривая доставляла минимум функционалу I, необходимо, чтобы она удовлетворяла условиям трансверсальности.

Каждая точка поверхности характеризуется параметрами. Следовательно, если в условие (5) при подставить линейно независимых векторов касательных к поверхности то полученная система ур-ний позволит определить положение конца кривой доставляющей минимум I. Аналогично определяется положение конца минимизирующей кривой на поверхности

Приведем некоторые частные случаи условий трансверсальности. Пусть в -мерном пространстве поверхности заданы ур-ниями

Тогда, если выбрать в качестве линейно независимых векторов, касательных к поверхности S векторы , условия трансверсальности примут вид:

Если условия трансверсальности приобретают вид

Лит. см. к Вариационное исчисление.

Ю. М. Данилин.