ИГРЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

— направление в теории процессов, описываемых дифференциальными уравнениями. И. д. имеют свойства, характерные как для оптимального управления теории, так и для игр теории. Непосредственной причиной развития теории И. д. послужили прикладные задачи, в частности, военные.

Так, типичным примером задачи И. д. может служить задача о перехвате истребителем бомбардировщика противника. Оба объекта (и истребитель, и бомбардировщик) управляемы, и их поведение зависит от того, каким образом действуют пилоты. Однако управление находится в руках различных лиц с противоположными интересами: бомбардировщик уклоняется от встречи, а истребитель преследует его. Сложность задачи управления для пилота истребителя состоит в том, что у него отсутствует информация о будущем управлении противника. Он знает тех. возможности самолета, знает его положение в данный момент, однако не может знать, какое решение о своем управлении примет пилот бомбардировщика в каждый последующий момент времени. Поэтому его решение должно базироваться на информации о ситуации, которая сложилась к данному моменту.

Формально в общей форме И. д. может быть сформулирована следующим образом. Имеется объект управления, поведение которого описывается системой дифф. ур-ний

где -мерный вектор с компонентами — -мерная вектор-функ-ция с компонентами управляющие параметры, представляющие собой -мерный и -мерный векторы соответственно, которые могут меняться на мн-вах . Кроме того, задано терминальное мн-во , где - -мерное пространство (см. Пространство абстрактное в функциональном анализе). Пусть выбраны две какие-либо ф-ции и так, что и и ур-ние

имеет решение. Тогда для каждого начального состояния определена траектория системы (2) и определен функционал

где — первый момент времени, когда . Если такого момента нет, то считают, что Задача теории И. д. теперь состоит в выяснении вопроса о том, при каких условиях и для каких точек можно найти такие ф-ции что

В такой постановке задача решена лишь для небольшого числа конкретных частных примеров. Для случая, когда мн-во М совпадает со всем пространством, фиксировано, доказано существование решения игры в некотором обобщенном смысле. Для общего случая получены результаты в предположении некоторой дискриминации второго игрока, распоряжающегося управлением . А именно: предполагается, что принимая свое решение, первый игрок знает будущее управление второго на некотором малом отрезке времени. В этом случае удается показать, что все пространство

начальных положений может быть разбито на две области так, что, исходя из первой области, первый игрок всегда может гарантировать себе окончание игры с конечной ценой , в то время как в точках второй области он не может себе гарантировать никакого конечного значения цены. Построены достаточные условия возможности окончания игры с конечной ценой. Эти условия применимы в основном для решения задач с линейным объектом управления.

Лит.: Понтрягин Л. С. К теории дифференциальных игр. «Успехи математических наук», 1966, т. Краоовокий Н. Н. Игровые задачи о встрече движений. М., 1970 [библиогр. с. 413— 420]; Айзекс Р. Дифференциальные игры. Пер. с англ. М., 1967 [библиогр. с. 470—472].

Б. И. Пшеничный.