ЗАМЫКАНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО АЛГОРИТМА

— упорядоченное множество соотношений, получаемое предельным переходом из соотношений, составляющих вычислительный алгоритм. Понятие 3. в. а. было введено акад. АН СССР С. Л. Соболевым.

Пусть требуется решить ур-ние

где — функциональные пространства, оператор, переводящий U в F. Заменим ур-ние (1) приближенным ур-нием

заданным в конечномерном пространстве, где параметры, определяющие качество приближения (размеры сетки, к-во итераций, число неизвестных, величину допустимой погрешности счета и т. п.). Пусть решение соответственно ур-ний (1) и (2) и пусть и в некоторой естественной норме при стремлении этих параметров к предельным значениям, которые, не уменьшая общности, можно принять за нулевые. Вычисл. алгоритм решения ур-ния (2) состоит в последовательном получении совокупности соотношений

в которой тождественный оператор. Это значит, что на шаге преобразований (3) мы получим точное решение ур-ния Совокупность (3) вместе со способом аппроксимации (2) составляет вычисл. алгоритм Т решения ур-ния (1) Пусть можно ввести параметр монотонно зависящий от m. и такой, что при фиксированном и некотором способе стремления к нулю параметров h соотношения (3) переходят в

причем тогда Соотношения (4), если они имеют смысл, в. а. Т. Если операторы и ф-ция равномерно по z ограничены в некоторой естественной норме, то говорят, что алгоритм Т имеет регулярное замыкание. В противном случае говорят, что алгоритм Т имеет нерегулярное замыкание (тогда при повышении точности исследования ур-ния (1) в реализации алгоритма Т могут возникнуть затруднения, связанные или с потерей знаков в вычислениях или с выходом за разрядную сетку ЭВМ). Элементы матриц систем типа (2), возникших из аппроксимации задачи матем. анализа, обычно построены некоторым регулярным образом. Поэтому можно предполагать, что такие системы со многими неизвестными окажутся подчас по своим свойствам ближе к своему замыканию, чем к своим конечномерным аналогам. Это обстоятельство дает возможность изучать свойства вычисл. алгоритмов, исследуя свойства их замыканий приемами и методами матем. анализа. Пример 3. в. а.: ур-ние краевая задача для линейного обыкновенного дифф. ур-ния 2-го порядка; ур-ние (2) — разностная аппроксимация ур-ния (1) на сетке с шагом h; совокупность факторизации, полученные на основе применения метода Гаусса к системе (2). Тогда соотношение (4) есть краевая задача для системы трех обыкновенных нелинейных дифф. ур-ний 1-го порядка, операторы которой факторизуют оператор задачи (1). в. И. Лебевев.