ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СИМВОЛЬНОЕ, дифференцирование аналитическое

— получение при помощи ЦВМ производной данной функции в аналитическом виде. Эта операция была одним из первых примеров использования ЦВМ для нечисловой математики и до сих пор является самой характерной процедурой при автоматизации аналитических преобразований на вычислительных машинах. Начиная с 1953 г., разработано и внедрено большое к-во различных алгоритмов дифференцирования. В основе этих алгоритмов лежит общий принцип — последовательное выполнение на каждом этапе работы следующих двух действий: выбор подвыражения, подлежащего обработке на данном этапе и замена выбранного подвыражения другим с помощью соответствующего правила дифференцирования.

Пример. Если требуется найти производную то в качестве первого подвыражения выбирается оно само. В этом случае из мн-ва правил дифференцирования применяется правило преобразующее данное выражение к .

Затем для преобразования выбирается либо подвыражение либо . Соответственно применяются правила- . В результате получится выражение .

Характерными свойствами каждой программы дифференцирования являются форма задания входного выражения, способ представления этого выражения внутри машины, к-во выполняемых упрощений и к-во применяемых правил дифференцирования.

В первых программах выражения задавались в виде последовательности условных кодов, где каждый код соответствовал одной операции. Напр., ф-ция записывалась как , где обозначает операцию возведения в степень. Результат выводился в таком же виде. Последующие программы приближали форму записи выражений к общепринятой в математике. В наст, время программы воспринимают исходное выражение в сложившейся линеаризованной записи, принятой в языках программирования типа АЛГОЛ, ФОРТРАН. Так, выражение запишется как или в зависимости от того, какими символами обозначается операция возведения в степень. Внутр. представление выражений для первых программ мало чем отличалось от виешн. представления. Теперь в качестве внутр. представления используются в основном различные модификации записи Лукасевича и схем Канторовича.

Многие из программ используют в различной степени средства упрощения выражений, полученных в результате дифференцирования. Это обеспечивает более наглядную запись результата, а также значительно ускоряет повторное дифференцирование. Так, напр., неупрощенный результат дифференцирования по выражения имеет вид . После упрощения получим выражение а Эффективность программы зависит также от к-ва используемых правил дифференцирования. Напр., кроме общего правила где и и v рассматриваются как ф-ции, можно использовать еще два правила, на те случаи, когда либо и, либо v не зависят от переменной дифференцирования. Можно пойти дальше и использовать еще два правила на тот случай, когда либо и, либо v являются числами. Увеличение к-ва правил ускоряет процесс дифференцирования, но усложняет саму программу.

Программы дифференцирования вначале создавались как самостоятельные программы. В дальнейшем они, как правило, стали входить в большие системы, предназначенные для проведения аналитических преобразований на машинах, в виде либо операторов, либо операций входного языка таких систем. Так, в наиболее распространенной зарубежной системе FORM АС введена операция FMCDIF. Выражение - в этой системе записывается как . В СССР самыми мощными системами для аналитических преобразований являются машина «МИР-2» и система СИРИУС. Во входном языке машины «МИР-2» аналитике приведенная выше производная запишется в виде а в системе СИРИУС — в виде .

Пример производной, полученной на машине «МИР-2»:

Лит. Белоус Л. Ф. Аналитическое дифференцирование в системе СИРИУС. «Автоматизация программирования», 4 969, в. 2; Гринченко Т. А., Царюк Н. П. Аналитическое дифференцирование в машине «Мир-2». «Математическое обеспечение ЭЦВМ», 1970, в. 2; Sammet J. Б. Survey of formula manipulation. «Communications of the Association for Gomputing Machinery», 1966, v. 9, № 8.

Т. А. Гринченко.