КРАЕВЫХ ЗАДАЧ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ.

Краевой задачей совокупность двух систем интегро-дифференциальных уравнений (см. Уравнений классификация) и функциональных соотношений, относящихся к неизвестной функции и или векторной), из которых первая система (1) определена в некоторой области переменных а вторая (2) — на части или на всей границе 2 области а также, может быть, на некоторых подмногообразиях с имеющих размерность, меньшую, чем размерность Для определенности будем считать, что система (1) имеет вид

где векторная ф-ция своих аргументов, порядок системы), интегральный оператор, в котором интегрирование производится по всем или по части переменных Область есть открытый цилиндр в простр. с основанием Q, лежащим в плоскости осью, параллельной оси t, и боковой поверхностью Г (см. рис.). В этом случае говорят, что есть топологическое произведение 9 на открытый интервал Ограничения для ф-ции и имеют вид

где I — векторная ф-ция всех аргументов, определенная на Г, операторы дифференцирования D имеют порядок q, как правило, меньший, чем — некоторый оператор, определенный на Г. Ур-ния (1) и (2) описывают нестационарную краевую задачу (н. к. задачу Коши, ур-ния (1) описывают развитие некоторого процесса; ур-ния (2а) определяют краевые условия, условия (26) — начальные данные. Н. к. з. описывают большей частью поведение некоторой физ. системы (атом, молекула; ансамбль атомов и молекул, образующий твердое, жидкое или газообразное тело; вакуум, заполненный излучением; размножение нейтронов в реакторе и т. д.).

Интегро-дифф. ур-ние (1) соответствует континуальной модели математической (см. Численные методы) физ. процесса, краевые условия (2а) эффективно описывают взаимодействие физ. системы с окружающей средой, начальные данные (26) описывают начальное состояние системы. Если операторы L, I, S, s и ф-ция и не зависят от t, то условие (26) отбрасывается, и мы приходим к стационарной краевой задаче (с. к. з.). Если операторы L, I, S, s являются линейными, то к. з. является линейной, в противном случае — нелинейной. В случае линейной н. к. з. уравнения (1) и

(2) можно переписать в виде

где операторы линейны. Ф-ции (ф-ция краевых условий) и начальных данных) наз. входными данными н. к. з. (3), (4). Линейная н. к. з. (3), (4) наз. корректно поставленной, если решение и задачи (3), (4) единственно и непрерывно зависит в некоторой норме, метрике, или вообще топологии от входных данных задачи. Если к. з. (3), (4) является однородной и справедлив принцип суперпозиции: вместе с решениями задачи (3), (4) решением будет также . В этом случае и представляется в виде

где линейный ограниченный оператор в некотором банаховом простр. В (см. Пространство абстрактное в функциональном анализе) ф-ций удовлетворяющих краевому условию при этом для каждого и , и справедливо соотношение

Если , то при достаточно гладких коэфф. и входных данных ур-ния (3), (4) справедливо представление

где оператор перехода, удовлетворяющий соотношениям

(тождественный оператор).

Осн. метод решения задачи Коши (3), (4) заключается в ее аппроксимации конечномерными задачами Коши. Это производится различными способами. К классическим методам относится метод Ритца — Галеркина (метод проектирования), к более поздним — метод прямых и метод конечных разностей.

В последнее время наметилось сближение классических методов проектирования с конечноразностными на основе т. н. вариационно-разностных схем. В связи с развитием ЭВМ конечноразностный метод стал наиболее универсальным для решения систем (3), (4). Особенно эффективным он является для нелинейных систем (1), (2), позволяя автоматически в процессе решения линеаризовать задачу. Конечноразностные методы позволяют решать н. к. з. шаг за шагом с помощью явной или неявной схемы. В последнем случае приходится решать на каждом шаге некоторую с. к. з. Т. о., в неявных схемах решение н. к. з. сводится к повторному решению с. к. з.

Область интегрирования нестационарной краевой задачи пространстве .

Прямое решение с. к. з., т. е. сведение с. к. з. к задаче Коши, возможно только в простейших случаях. Так, задача

сводится к совокупности трех задач Коши:

Задачи (10) интегрируются на отрезке [0, 1], первые две в направлении возрастания последняя — в обратном направлении. Все три задачи устойчивы. Такой метод решения с. к. з. называется методом дифф. факторизации. Более употребительна конечноразностная факторизация, которая применяется к разностному аналогу с. к. з. При выполнении определенных условий одномерная конечноразностная с. к. з.

решается методом векторной или скалярной факторизации. Здесь А есть одномерный конечноразностный аналог оператора

где квадратные матрицы размерности в простр. переменных Применение векторной факторизации к решению одномерной с. к. з., как правило, является экономичным в том смысле, что к-во операций, приходящееся на точку сетки, ограничено константой, зависящей от оператора Л, но не от точек сетки. Прямое перенесение метода одномерной факторизации на многомерные с. к. з. приводит к т. н. методу матричной факторизации. Однако этот метод не является экономичным, т. к. к-во итераций, приходящееся на точку сетки, зависит от общего к-ва точек сетки N и возрастает, как положительная степень N. В частных случаях возможно представление многомерной с. к. з. как некоторой задачи Коши. Иноща в ур-нии (1) с. к. з.

одно переменное, напр. может быть выделено, так что (13) принимает вид

где оператор не зависит от . Если при этом Г содержит ось и краевые условия на оси определяют то при соответствующей структуре оператора Ф и краевых условиях на Г, обеспечивающих корректность задачи, с. к. з. может быть прямо решена, как задача Коши. Таким способом могут быть решены, напр., задачи обтекания тела сверхзвуковым потоком идеальной жидкости или задача обтекания вязким потоком в приближении пограничного слоя. В большинстве случаев для решения с. к. з. прибегают к итерационным методам, большинство которых основано на асимптотических свойствах решений н. к. з.

Известно, что решение и задачи Коши для ур-ния теплопроводности со стационарными краевыми условиями:

обладает следующим асимптотическим свойством:

При этом ф-ция и не зависит от выбора и является решением с. к. з.

Т. о., решение с. к. з. (17) может быть получено предельным переходом (16) из решения н. к. з. (15). Асимптотическое свойство (16) справедливо решений многих н. к. з., в том числе и нелинейных, и используется для получения решений соответствующих с. к. з. Такой метод наз. методом стационирования (установления). В методе установления итерационная схема решения с. к. з. может просто совпадать с конечноразностной схемой интегрирования соответствующей н. к. з. Явные схемы конечноразностного решения просты в реализации, но требуют большой затраты машинного времени. Неявные схемы простой аппроксимации (см. Дробных шагов метод) могут реализоваться с любым шагом по времени, однако при этом на каждом шаге вновь приходится решать с. к. з. аналогичного вида. Для того, чтобы избежать этого и получить экономичную схему интегрирования, прибегают к методу приближенной факторизации в сочетании со схемой универсального алгоритма. Так, если L — сильно эллиптический оператор, то с. к. з.

ставится в соответствие релаксационный процесс

где Т — релаксационный оператор, имеющий факторизованную структуру

Ч. — операторы, легко обратимые, большей частью одномерные, и такие, что процесс с дискретным временем

сходится для всех т. Предельная ф-ция и не зависит от и дает решение с. к. з. (18).

Для решения с. к. з. с постоянными коэфф. с успехом применяется классический метод точечных источников, сосредоточенных нагрузок и т. д., который представляет решение с. к. з. как суперпозицию элементарных решений, соответствующих «сосредоточенным в точке» условиям (условия типа -ф-ции). Этот метод приводит к интегр. ур-ниям первого или второго рода для ф-ции источников на границе

где ядро может быть и сингулярным. При имеем интегр. ур-ние Фредгольма 1-го рода, при ур-ние Фредгольма 2-го рода.

После дискретизации ур-ния (22) приходим к системе линейных ур-ний (плохо обусловленной в случае ), которая решается прямыми или итерационными методами. Формально разностный аналог (22) имеет меньшую размерность, нежели разностный аналог (21), однако решения обеих этих систем сравнимы во времени, т. к. в (22) имеем полностью заполненную матрицу, в то время как в (21) имеем матрицу лишь с несколькими ненулевыми диагоналями.

Следует выделить особый класс с. к. з. — задачи на собственные значения и задачи с переменным спектром. В с. к. з. на собственные значения содержится параметр Я, при частных значениях которого с. к. з. теряет единственность решения; эти значения к наз. собственными значениями с. к. з.; мн-во собственных значений образует спектр задачи. Так, если L — самосопряженный положительный оператор

то

имеет дискретный счетный спектр вещественных значений (все положительные) и соответствующую ему систему взаимноортогональных собственных ф-ций являющихся решением с. к. з. (24).

Конечноразностный аналог с. к. з. (24) приводит к задаче линейной алгебры о полном спектре симметричной матрицы, для которой Имеются эффективные методы решения. Иногда требуется найти собственное значение, обладающее некоторым экстрем, свойством (собственное значение, максимальное или минимальное по модулю, по вещественной или мнимой части и т. д.). В этом случае применимы также методы установления.

С. к. з. с переменным спектром соответствуют задаче (24), когда спектр оператора L является знакопеременным. Тогда применяют также итерационные методы более сложной структуры, напр., многослойные с выбором оптим. параметра релаксации.

К важным нелинейным с. к. з. приходят при отыскании стационарных и автомодельных решений в газовой динамике. При этом дифф. ур-ния, описывающие автомодельное решение, имеют, как правило, особенности в граничных точках и в заранее неизвестных точках внутри. Общая теория таких краевых задач еще не разработана.

Лит.: Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.- Л., 1963 [библиогр. с. 677—734]; Соболев С. Л. Уравнения математической физики. M.s 1966; Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М., 1966; Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск, 1967 [библиогр. с. 189—193]; Яненко Н. Н. Введение в разностные методы математической физики, ч. 1-2. Новосибирск, 1968 [библиогр. ч. 2, с. 379—385]; Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М., 1968 [библиогр. с. 585—592]; Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М., 1971 [библиогр. с. 510—512]; Годунов С. К. Уравнения математической физики. М., 1971; Марчук Г. И., Кузнецов Ю. А. Итерационные методы и квадратичные функпионалы. Новосибирск, 1972 [библиогр. с. 176—203]; Курант Р. Уравнения с частными производными. Пер. с англ. М., 1964 [библиогр. с. 793—813]; Уилкинсон Дж. X. Алгебраическая проблема собственных значений. Пер. с англ. М., 1970 [библиогр. с. 559 — 564]. Н. Н. Янепко.