Главная > Энциклопедия кибернетики. Т.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

ИНТЕГРАЛЬНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ.

Задача отыскания решения нелинейного интегр. ур-ния (н. и. у.) продолжает оставаться одной из сложных задач вычислительной математики. Среди наиболее распространенных в практике н. и. у. и их систем многие являются частными случаями ур-ния типа Урысона (см. Интегральные уравнения)

где неизвестная ф-ция, — числовой параметр, — ограниченная замкнутая область в n-мерном эвклидовом простр. (см. Пространство абстрактное в функциональном анализе), — заданная ф-ция. Его решение, как правило, может быть найдено только приближенно. Рассмотрим методы решения ур-ний этого типа.

Метод неопределенных коэффициентов состоит в том, что если в ур-нии (1) ф-ция может быть представлена рядом

где ф-ции непрерывны, то искать решение ур-ния (1) можно в виде степенного ряда

Подставим этот ряд в ур-ние (1), воспользовавшись разложением (2), а также рядом для вида

коэфф. которого определены рекуррентно

Приравнивая коэфф. при одинаковых степенях , получаем ф-лы для последовательного нахождения коэфф. ряда (3)

((р.п-р) находятся из соотношений (4)). Ряд (3) при определенных условиях — сходящийся. Напр., при выполнении условий

где постоянные, интегр. имеет Р круге единственное решение, которое можно представить рядом (3), сходящимся регулярно. Быстрота сходимости характеризуется оценкой

где

За прибл. решение ур-ния (1) принимают частичную сумму вида (5). Погрешность такого решения может быть априорно оценена с помощью неравенства

В методе последовательных приближений выбираем способом начальное приближение к искомому решению ур-ния (1) и строим итерационный процесс вида

Если известно, что последовательные приближения (6) сойдутся к решению ур-ния (1), то,

остановив процесс на конечном шаге, мы получим прибл. решение данного ур-ния.

Приведем один из результатов о сходимости процесса (6). Пусть ф-ция непрерывна вместе с производной по совокупности переменных , и пусть

где Тогда при любой непрерывной ф-ции из области

последовательные приближения (6) сходятся равномерно к непрерывному решению ур-ния (1), которое расположено в области (7) и единственно в этой области. Быстрота сходимости определяется неравенством

При неравенство (8) дает априорную оценку погрешности приближения. Апостериорная и, вообще говоря, более точная оценка имеет вид

Трудности в вычислении квадратур, возникающие при реализации процесса (6), могут быть преодолены привлечением способов прибл. интегрирования. Обобщением процесса (6) является алгоритм осреднения функциональных поправок.

Аналог метода Ньютона решения алгебр, ур-ний является одним из эффективных методов решения н. и. у. (1). Введем итерационный процесс

где предложенный сов. математиком Л. В. Канторовичем и имеющий сверхбыструю сходимость второго порядка. Здесь на каждом шаге относительно поправки решается линейное интегр. ур-ние (см. Интегральных линейных уравнений способы решения). Если ф-ция непрерывна вместе с производными по совокупности переменных и выполнены условия:

а) для начального приближения ядро имеет резольвенту причем

б) невязка ур-ния (1) на приближении удовлетворяет неравенству

в) в области имеем

г) постоянные и К подчинены условию процесс Ньютона-Канторовича (9) сходится при этом равномерно к решению ур-ния (1), расположенному в области

и единственному в области . Быстрота сходимости определяется оценкой

Такие утверждения, помимо установления сходимости алгоритма, представляют собой теоремы о существовании, области расположения и области единственности решения н. и. у. Отыскание начального приближения удовлетворяющего указанным условиям и представляющего грубо прибл. решение ур-ния (1), является самостоятельной задачей, для решения которой общие рецепты не могут быть даны. Выбор того или иного способа получения диктуется видом ур-ния (1) или характером изучаемой проблемы. Если требуемое найдено, то высокая скорость сходимости процесса (9) обеспечивает получение прибл. решения ур-ния (1) с достаточной для практики точностью после небольшого к-ва итерационных шагов. Априорная оценка погрешности приближения может быть подсчитана по Более точную, апостериорную оценку даст неравенство если во всех соответствующих выражениях заменить на и пересчитать соответствующие постоянные.

Другим эффективным методом решения н. и. у. является аналог метода Эйткена — Стеффенсена решения

алгебр, ур-ний. Введем итерационный процесс

где . Теоремы сходимости этого метода по общей идее представляют видоизменения соответствующих теорем для метода Ньютона. Алгоритм (12) имеет сверхбыструю сходимость второго порядка, но не требует вычисления на каждом итерационном шаге производной При этом, будучи основан на идее интерполирования, он иногда фактически сходится быстрее алгоритма Ньютона.

Метод кубатурных формул позволяет при решении н. и. у. (1) заранее избежать точного вычисления квадратур и необходимости решать линейные интегр. ур-ния. Для этого пользуются методом замены интеграла в самом ур-нии конечной суммой по какой-либо кубатурной Пусть для простоты ур-ние (1) одномерное

где ф-ция непрерывна по совокупности переменных. Возьмем квадратурную ф-лу

где узлы Пользуясь этой ф-лой, ур-ние (1) запишем в виде

где точное решение ур-ния).

Полагая в ур-нии , получаем

Отбросив здесь малую величину приходим к нелинейной системе

Ее неизвестные принимаются за прибл. значения искомого решения в узлах квадратурной ф-лы. Дальнейшая задача состоит в решении системы (17), для чего могут быть использованы все известные способы решения систем нелинейных алгебр, ур-ний. Затем, когда численное решение ур-ния (1) найдено, его можно проинтерполировать (см. Интерполирование функций) на весь промежуток исходя из равенства (15), отбросив внем и заменив решением системы (17). В результате получаем прибл. решение ур-ния (1)

Если (14) — обобщенная квадратурная ф-ла с шагом h и равноотстоящими узлами, то некоторое представление о погрешности решения системы (17), вызванной отбрасыванием в системе (16) величины можно получить, сравнивая это решение с аналогичным h решением для шага — в совпадающих узлах.

Получена также и строгая апостериорная оценка погр. решения ур-ния (18) для случая произвольной квадратурной ф-лы. Изложенные методы пригодны также для ур-ний с переменным пределом интегрирования, т. е. для нелинейных ур-ний Вольтерры, и их можно реализовать на ЦВМ.

Для многих типов одномерных интегр. ур-ний эффективными средствами решения являются аналоговые и гибридные вычисл. машины (АВМ и ГВМ). Напр., для ур-ния при замене процесс поиска решения состоит в минимизации нормы для суммы невязок приближения). Каждое приближение воспроизводится автоматически в течение интервала времени на каждом шаге минимизации. Удобство воспроизведения нелинейных зависимостей и многочленов на АВМ и ГВМ позволяет реализовать многие алгоритмы вариационных методов для достаточно сложных н. и. у. При этом независимая переменная представляется временем обеспечивается периодическое

воспроизведение минимизируемого функционала, а процесс минимизации можно автоматизировать или поручить оператору, который управляет свободными параметрами, наблюдая за поведением минимизируемого функционала по осциллографу. Ур-ние Вольтерры с вырожденными и разностными ядрами решают алгоритмически, путем построения их электронных моделей-аналогов и измерения напряжений, изменяющихся во времени по закону При решении нелинейных ур-ний Вольтерра с ядром общего вида моделируется оператор вида что дает возможность реализовать метод последовательных приближений с небольшой затратой аппаратуры или получить прибл. решение в виде кусочно-ломаной ф-ции путем непосредственного аналого-дискретного моделирования с использованием интеграторов в равном отрезков дискретизации.

Лит.: Назаров Н. Нелинейные интегральные уравнения типа Гаммерштейна. «Труды Среднеазиатского университета. Серия 5-а. Математика», 1941, в. 33; Мысовских И. П. О сходимости метода Л. В. Канторовича для решения нелинейных функциональных уравнений и его применениях. «Вестник Ленинградского университета. Серия математики, физики и химии», 1953, JMs 11, в. 4; Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М., 1959 [библиогр. с. 671—680]; Мысовских И. П. О методе механических квадратур для решения интегральных уравнений. «Вестник Ленинградского университета. Серия математики и астрономии», 1962, №7, в. 2; Ульм С. Алгоритмы обобщенного метода Стеффенсена. «Известия АН Эстонской ССР. Серия физико-математических и технических наук», 1965, № 3; Бельтюко в Б. А. Аналог метода Рунге—Кутта для решения нелинейных интегральных уравнений типа Вольтерра. «Дифференциальные уравнения», 1965, т. 1, № 4; Бельтюков Б. А. Об одном методе решения нелинейных функциональных уравнений. «Журнал вычислительной математики и математической физики», 1965, т. 5, JMs 5; Соколов Ю. Д. Метод осреднения функциональных поправок. К., 1967 [библиогр. с. 327—328]; Забрейко П. П. [и др.]. Интегральные уравнения. М., 1968 [библиогр. с. 432—444]; Красносельский М. А. [и др.]. Приближенное решение операторных уравнений. М., 1969 [библиогр. с. 437—452]; Верлань А. Ф. Методы решения интегральных уравнений на аналоговых вычислительных машинах. К., 1972 [библиогр. с. 211-217].

Б. А. Бельтюков, А. Ф. Верлань.

1
Оглавление
email@scask.ru