ДРОБНЫХ ШАГОВ МЕТОД
— один из экономичных методов решения задач математической физики. При увеличении размерности задачи к-во операций для получения числ. решения растет вследствие как роста к-ва точек, так и логич. трудностей составления программы расчета. Для системы дифф. ур-ний
где 
дифф. оператор, 
схемы простой аппроксимации (см. Конечноразностные методы)
становятся неэффективными в случае многомерных задач. Для нахождения 
необходимо обращение оператора 
что требует 
операций, где 
точек на одно измерение, 
- к-во пространственных измерений, а а 
сильно растет с увеличением т. Так, напр., для ур-ния теплопроводности 
.
Для получения экономичных устойчивых разностных схем предложены методы, основанные на следующих идеях: а) расщепления разностных схем, б) прибл. факторизации, в) расщепления (слабой аппроксимации) дифф. ур-ний.
В случае ур-ния (соответствующие разностные схемы выглядят следующим образом (для простоты взяты 2 дробных шага):
а) схема расщепления:
б) схема приближенной факторизации:
в) схема слабой аппроксимации:
В случае коммутативных операторов схемы (2) и (3) эквивалентны при условии, что 
. И в том и другом случаях обращение оператора 
заменяется обращением оператора 
т. е. последовательным обращением операторов 
, вообще говоря, более простой структуры. При условии 
имеет место соотношение прибл. факторизации
Трактовка метода в) позволяет рассматривать схему расщепления
как простую аппроксимацию ур-ния (4), слабо аппроксимирующего ур-ние (1):
Т. о., в основе метода расщепления лежит представление сложных операторов через простейшие, так что интегрирование исходного ур-ния сводится к интегрированию ур-ний более простой структуры. При этом схемы дробных шагов обязаны удовлетворять условиям аппроксимации и устойчивости только в окончательном итоге (при записи их в «целых» шагах).
Методом расщепления решаются многие сложные задачи матем. физики. К одной из модификаций метода расщепления принадлежит метод «частиц в ячейках», широко используемый при решении задач матем. физики, в котором расщепление не связано с понижением размерности операторов.
Существует связь между схемами расщепления и теорией полугрупп, а именно: декомпозиция инфинитезимальных операторов полугруппы имеет прямое отношение к схемам расщепления. Однако метод расщепления более содержателен не только практически (т. к. он обеспечивает построение экономичных разностных схем), но и теоретически, поскольку декомпозиция операторов в методе расщепления происходит при значительно более слабых предположениях.
Большое развитие получили схемы расщепления повышенного порядка точности, и достигнут определенный прогресс в их эффективной реализации.
Лит.: Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск, 1967 [библиогр. с. 189—193]; Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М., 1971 [библиогр. с. 538—550]. И. Н. Яненко.
