ИНТЕГРАЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ УРАВНЕНИЙ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ.

Сингулярные интегральные уравнения (с. и. у.) возникают на основе интегр. представлений решений многих задач математической физики. Эти ур-ния применяются также в автоматического управления теории (Винера—Хопфа уравнения), в теоретической физике (теория дисперсионных соотношений) и др. областях. Многие частные типы с. и. у. решаются в замкнутой аналитической форме. В качестве одного из важных примеров рассмотрим полученное акад. АН СССР И. Н. Векуа решение в замкнутой форме т. н. характеристического с. и. у.

в котором — искомая ф-ция, Г — замкнутая гладкая простая кривая; , т. е. непрерывны по Гельдеру на Г с показателем ), если , причем на Г. Не ограничивая общности, будем считать, что начало координат лежит внутри Г. Введем интеграл типа Коши . Граничные значения когда оставаясь внутри Г, и когда оставаясь вне Г) связаны ф-лами Сохоцкого — Племеля

По этим ф-лам ур-ние (1) преобразуется к виду

где

Задача определения из соотношения краевой задачей Римана. Общее ее решение в замкнутой форме впервые дали итальянский матем. И. Племель и сов. матем. Ф. Д. Гахов. Введем индекс . Тогда ф-ция однозначной на Г. Применив к ней ф-лы (2), получим

Подставив в (3) вместо G его представление и проделав простые преобразования, в соответствии с известными свойствами аналитических ф-ций будем иметь

где произвольный многочлен степени и при 0. Из получаем, что

Поскольку должна обращаться в нуль на бесконечности, при будет искомым решением ур-ния (1) лишь при условии, что имеет на бесконечности нуль порядка не меньшего, чем — и При дает и линейно независимых решений ур-ния (1) и соответствующей краевой задачи (3). Из (5) вытекает, что для доведения решения до числа нужно уметь вычислять индекс и и ряд сингулярных интегралов. Пусть ур-ние контура Г. Тогда Соотношение представляет собой параметрическое ур-ние некоторой кривой L. В силу непрерывности и замкнутости Г кривая L будет замкнутой. Число витков кривой L вокруг начала координат (порядок кривой Г относительно начала координат) будет индексом ф-ции Если, напр., действительная или чисто мнимая ф-ция, не обращающаяся в нуль, то L есть отрезок прямой (проходимый четное число раз), и индекс равен нулю. Если является аналитической ф-цией внутри Г, за исключением конечного чиела точек, где она может иметь полюсы, то индекс равен разности между числом нулей и числом полюсов внутри Г. В общем

случае индекс можно вычислить по ф-ле

Т. к. и есть целое число или нуль, для правильного определения и при численном интегрировании (см. Интегралов способы вычисления) по ф-ле (6) достаточно обеспечить абс. вычисл. погрешность Сингулярные интегралы можно вычислять указанными ниже приближенными способами.

Ур-ние Винера — Хопфа 2-го рода

продолжением на всю ось , применением Фурье преобразования и заменой аргумента можно свести к ур-нию вида (1), в котором

Применив ф-лы (5), получим замкнутую форму решения ур-нця (7) в виде

Т. о., для доведения решения ур-ния (7) до числа еще необходимо вычислять интегралы Фурье (см. Фурье интегралов способы вычисления). Ур-ние Винера — Хопфа 1-го рода

также приводится к ур-нию вида (1), однако при этом получается т. н. исключительный случай, когда в отдельных точках Г имеет нули целых порядков. Этот случай также поддается решению в замкнутой форме, как и многие другие случаи ослабления и расширения первоначальных требований на Г, а, b и Особое значение в теории упругости, гидро- и аэромеханике имеет случай, когда Г — совокупность разомкнутых непересекающихся а, b — кусочно-непрерывные ф-ции.

Полное линейное с. и. у. вида

где а, b, f и Г — те же, что и в (1), — комплексный параметр, а ядро к фредгольмовское (см. Интегральные уравнения), вообще говоря, не может быть решено в замкнутой аналитической форме. Один из способов решения этого ур-ния состоит в его регуляризации, т. е. в сведении его к случаю интегр. ур-ния Фредгольма 2-го рода. Последнее решается многими способами (см. Интегральных линейных уравнений способы решения). Регуляризацию оператора К дает, напр., оператор

простые вычисления приводят к ф-лам

Однако регуляризация с. и. у. не всегда возможна. Кроме этого, она может приводить к неэквивалентным уравнениям и к излишне сложным вычислениям. Правомерно искать приближенное решение с. и. у. без их регуляризации. Набор способов решения ур-ния (8) без его регуляризации получают, исходя из следующих соображений. С одной стороны, ур-ние (8) является частным случаем линейных операторных ур-ний в гильбертовом или банаховом пространствах и поэтому к нему применимы общие методы решения таких ур-ний (см. Операторных уравнений способы решения). Специфика применения общих методов к ур-нию (8) состоит в необходимости вычисления ряда сингулярных интегралов и в учете некоторых особенностей теории с. и. у. В частности, условие на Г обеспечивает корректность задачи решения

ур-ния (8), если не есть характеристическое число и если может обращаться в нуль на Г, то задача решения ур-ния (8) не является корректно поставленной и необходимо привлекать методы решения некорректных задач (см. Некорректно поставленные задачи и Некорректно поставленных задач способы решения). Случай любого индекса и цриводится к случаю нулевого индекса введением ур-ния

Ф-ция будет тем решением ур-ния (8) (если оно разрешимо), у которого имеет наивысший возможный порядок нуля на бесконечности. Если Я не есть характеристическое число и то

где решение ур-ний все линейно независимые решения однородного ур-ния . С другой стороны, к ур-нию (8), являющемуся обобщением фредгольмовских ур-ний, формально можно применять многие методы решения таких ур-ний без регуляризации с. и. у. Детальное исследование показывает, что ряд методов: типа Ритца — Галёркина, совпадения, замены ядра на вырожденное и др. (см. Численные методы) могут быть обоснованы применительно к с. и. у. В то же время широко распространенный метод решения фредгольмовских ур-ний 2-го рода, основанный на аппроксимации решения в виде кусочно-линейной ф-ции, не может быть обоснован применительно к с. и. у. в общем случае. При достаточной гладкости решения ур-ния (8) весьма эффективным оказывается наименьших квадратов метод, по которому приближенное решение ищется в виде чем искомые которые минимизируют находятся как решение алгебр, системы

где

— комплексно сопряженная ф-ция к . Алгебр, систему (9) целесообразно решать методом квадратного корня (при замене на выгодно применять метод окаймления). На практике удобно заменой переменной t свести ур-ние (8) к случаю, когда Г является окружностью единичного радиуса с центром в начале координат. Способ получения априорной оценки погрешности метода и погрешности за счет неточности исходных данных см. в Приближенных методов общая теория, оценку погрешности округления при решении алгебр, системы вида (9) см. в ст. Линейных алгебраических систем уравнений способы решения.

Практически удобно степень погрешности приближенного решения оценивать, вычисляя нормы невязки ур-ния или С ростом первая норма всегда стремится к нулю, а вторая стремится к нулю при достаточной гладкости исходных данных ур-ния (8). В более общем случае, когда о гладкости решения ур-ния (8) ничего не известно, целесообразнее применять итеративные методы решения с. Вычислительная схема одного из всегда сходящихся итеративных методов типа наискорейшего спуска следующая:

где произвольная ф-ция, сопряженный оператор и знак нормы означает При этом в необходимых случаях интегралы берутся численно. Указанный итеративный метод и метод наименьших квадратов можно перенести на общий случай ур-ния вида (8), когда коэфф. этого ур-ния кусочно-непрерывны и Г состоит из конечного числа непересекающихся гладких

дуг. Теперь под нормой необходимо подразумевать где вес р должен обеспечивать ограниченность для требуемого решения ф. Это условие будет, напр., выполнено, если положить, что с достаточно малым где все точки разрыва ф-ций а, b и все концы дуг, входящих в Г. Значительно более эффективным по числу необходимых операций для достижения заданной точности может быть комбинированный метод, когда начальную ф-цию для итеративного метода (10) находят по методу наименьших квадратов. Для получения приближенного решения с высокой точностью экономически выгодно применять вычисл. схему итерационного уточнения, по которой заново применяется тот же приближенный метод для отыскания поправки о к ранее полученному приближенному решению . При этом нужно позаботиться о возрастающей точности вычисления невязки

Обобщением ур-ний Винера—Хопфа является полное с. и. у. типа свертки

где — заданные константы. Ур-ние (11) преобразованием Фурье и заменой аргумента сводится к ур-нию вида (8). Ур-ние (11) также является частным случаем линейных операторных ур-ний в гильбертовом или банаховом пространствах, и его можно решать общими приближенными методами для таких ур-ний. На практике нередко встречаются системы ур-ний вида (1), (8) и (11). Теория систем линейных с. и. у. аналогична теории одного ур-ния, поэтому к решению систем можно применять аналогичные способы приближенного решения. Однако система ур-ний вида (1) не всегда решается в замкнутой аналитической форме. Причина этого в том, что для матриц а и b не всегда справедливо свойство . При решении систем с. и. у. высокого порядка приближенными методами сталкиваются с вопросами экономии памяти и времени вычислений на ЦВМ. С точки зрения экономии памяти итеративный метод вида (10) оказывается предпочтительнее метода наименьших квадратов. Однако в случае медленной сходимости итераций можно воспользоваться и методом наименьших квадратов, находя искомые коэф. не из алгебп. системы випа а путем непосредственной минимизации нормы невязки ур-ния одним из алгоритмов типа быстрого спуска (координатного спуска, наискорейшего спуска и др.). Сказанное о системах с. и. у. в значительной мере справедливо и в отношении линейных многомерных с. и. у.

Лит.: Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. М., 1959 [библиогр. с. 616—628]; Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.. 1963 [библиогр. с. 628—6351; Михлин С. Г., Смолицкий X. Л. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. М., 1965 [библиогр. с. 373—379]; Мусхелишв и Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М., 1968 [библиогр. с. 488—511]; Иванов В. В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. К., 1968 [библиогр. с. 281-285]; .