КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ

где Q — область интегрирования в -мерном евклидовом пространстве (см. Пространство абстрактное в функциональном анализе), фиксированная функция (весовая функция), принадлежит достаточно широкому классу функций, точки называются узлами и числа — коэффициентами Узлы обычно принадлежат Q, но это требование не является необходимым. Сумма в (1) является обобщением суммы Римана и наз. кубатурной суммой. При и сумма в правой части наз. квадратурными. Кубатурная сумма принимается за прибл. значение интеграла из левой части

Один из способов получения К. ф. основан на интерполировании (см. Интерполирование функций). Выберем точек в Q, которые не лежат на алгебр, гиперповерхности порядка Построим интерполяционный многочлен степени ф-ции по ее значениям в и запишем прибл. равенство

где многочлен влияния узла Он равен 1 в и 0 в остальных узлах. Умножая обе части равенства (2) на и интегрируя по , получим К. ф. вида (1), в которой и

Считаем, что существуют неотрицательные целые числа), которые наз. моментами узлов которой не лежат на алгебр, гиперповерхности порядка , а коэфф. определяются равенством интерполяционной.

Коэфф. С? можно находить и из линейной алгебр, системы, которую получим, если запишем, что К. точна для всех одночленов степени, меньшей или равной от переменных. Это основано на том, что интерполяционная точна для таких многочленов. Обратное утверждение: К. ф. с узлами, точная для многочленов степени, меньшей или равной является интерполяционной, верно не всегда. Приведем соответствующую теорему. Для того, чтобы К. ф. (1), точная для многочленов степени не выше , была интерполяционной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы

размера был равен N. Здесь через обозначены одночлены от переменных, занумерованные так, что одночлены меньшей степени имеют меньший номер, а одночлены одной и той же степени занумерованы в любом порядке. В частности,

Если обладают симметрией, то в ряде случаев удается построить К. ф., точные для многочленов степени, меньшей или равной с к-вом узлов, меньшим Уменьшение к-ва узлов достигается путем их спец. выбора.

Для простейших областей, в частности для куба, шара, симплекса и можно построить К. ф. -кратным применением квадратурных Напр., если Q — куб: , то с помощью, скажем, квадратурной ф-лы Гаусса с к узлами и коэффю получим К.

имеющую узлов и точную, когда

где Недостатком таких ф-л является быстрое увеличение к-ва узлов при возрастании .

Среди К. ф., точных для многочленов степени, меньшей или равной большой интерес представляют имеющие наименьшее к-во узлов.

В случае, когда такие ф-лы построены при любом и для произвольных при этом наименьшее к-во узлов равно 1 в первом случае и во втором. При наименьшее к-во узлов зависит от области Q и весовой ф-ции. Напр., при для области с центр, симметрией и наименьшее к-во узлов равно а для симплекса и оно равно Этими двумя примерами и исчерпывается случай при любом при с наименьшим к-вом узлов не известны даже для областей частного вида. При случай, когда исследован для произвольной Q и неотрицательной (я), менее полные результаты получены для

Приведем еще два результата о знаке коэфф. К. ф. в предположении, что в области Q. Если Q ограничена и замкнута, то существует К. ф. с М (то, ) узлами, точная для многочленов степени, меньшей или равной то, и такая, что узлы принадлежат Q и коэфф. неотрицательны. Вопрос о фактическом построении такойф-лы остается открытым. вещественными узлами и коэффициентами точна для многочленов степени, меньшей или равной то, то среди ее коэфф. имеется не менее М (I, ) положительных, где целая часть числа Отсюда следует, что — нижняя граница для к-ва узлов такой ф-лы. Пусть X — банахово пространство ф-ций, заданных на Q, такое, что остаточный член К. между интегралом и кубатурной суммой) является линейным функционалом в X. Норма функционала

характеризует качество К. для ф-ций пространства X. Другой подход к построению К. ф. основан на минимизации как ф-ции узлов и коэфф. искомой К. ф. (при фиксированном к-ве узлов). Даже при этот подход осуществлен лишь в простейших частных случаях. Для любого важные результаты получил сов. математик С. Л. Соболев (р. 1908).

1. Специализированная управляющая машина «Киев-67».

2. Блок-схема машины Ктв-67».

Эти результаты связаны с минимизацией как ф-ции коэфф. Спри этом узлы предполагаются фиксированными и образующими правильную решетку. В качестве X, в частности, берется пространство где и искомая К. ф. должна быть точной для всех многочленов степени меньшей то.

Для вычисления кратных интегралов применяют также метод статистических испытаний — т. н. Монте-Карло метод и метод, основанный на использовании теории чисел.

Лит.: Бусленко Н. П. [и др.]. Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). М., 1962 [библиогр. с. 313—327]; Коробов Н. М. Теоретикочисловые методы в приближенном анализе. М., 1963 [библиогр. с. 214—216]; Соболев С. Л. Лекции по теории кубатурных формул, ч. 1-2. Новосибирск, 1964-65 [библиогр. ч. 1, с. 191]; Крыло в В. И., Шульгина Л. Т. Справочная книга по численному интегрированию. М., 1966 [библиогр. с. 324—360]; Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. М., 1967. И. П. Мысовских.