ИНТЕГРАЛОВ СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ.

Для вычисления определенных и неопределенных интегралов существуют точные и прибл. способы. Определенным интегралом , понимаемым в обычном для курсов математики смысле (в смысле Римана), наз. предел интегр. суммы

1. Способы точного вычисления определенного интеграла. Приведенное определение интеграла дает одновременно и способ его вычисления путем

прямого нахождения предела интегр. суммы. Но такой способ сложен и его почти не применяют при точных вычислениях. Чаще применяют его для прибл. нахождения интегралов. Большое значение имеют способы, основанные на установлении связи между изучаемым определенным интегралом и другими величинами, значения которых часто можно вычислить проще, чем предел интегр. суммы. Такие способы многообразны, так как интегралы связаны как между собой, так и со многими др. величинами. Приведем лишь несколько примеров такого рода. Если для интегрируемой ф-ции существует первообразная (примитивная) ф-ция , то верно следующее равенство: , позволяющее свести вычисление интеграла к отысканию первообразной F (х) и нахождению двух ее значений F (а) и F (b).

В др. случаях используют простые связи между интегралами от разных ф-ций. К такому виду связей относится, напр., правило «интегрирования по частям»:

позволяющее интеграл заменить интегралом .

Вторым примером может служить правило интегрирования суммы ф-ций . Это правило часто дает возможность привести интеграл от ф-ции, имеющей сложное строение, к нескольким более простым интегралам от отдельных слагаемых. Особенно широко применяют аналог этого правила для бесконечных рядов: если представима в форме сходящегося на ряда при выполнении некоторых условий о характере сходимости, верно равенство

Использование его связано с тем, что ф-ции очень широкого мн-ва могут быть представлены в форме суммы ряда, члены которого являются простыми и легко интегрируемыми ф-циями, иапр.

При решении некоторых теор. и прикладных задач бывает необходимо вычислить интегралы от однозначных аналитических ф-ций по замкнутым линиям Известно, что такой контурный интеграл равен произведению числа на сумму вычетов ф-ции в особых точках ее, лежащих внутри контура I. Это равенство позволяет вычисление контурного интеграла привести к нахождению вычетов, а это часто бывает значительно проще, чем найти предел интегр. суммы, соответствующей интегралу

2. Способы приближенного вычисления определенного интеграла. Большинство применяемых в наст, время способов прибл. вычисления определенных интегралов основано на замене интегрируемой ф-ции на простую и легко интегрируемую ф-цию, такую, напр., как алгебр. многочлен или рациональная ф-ция. Эта замена, как правило, дает тем большую точность, чем выше порядок дифференцируемости ф-ции и чем более «гладко» ее изменение. Когда же разрывная ф-ция или имеет разрывные производные невысокого порядка, то замена может дать невысокую точность вычисления интеграла или потребовать введения многочленов высокой степени, если нужно эту точность повысить. Поэтому при построении правил вычисления часто бывает целесообразно разложить интегрируемую ф-цию на два множителя из которых должен собрать в себе все особенности ф-ции, а должен иметь достаточно высокий порядок гладкости, и затем привести интеграл к виду Множитель считается фиксированным, его весом или весовой функцией в интеграле. Ф-ция же может быть любой из некоторого широкого мн-ва. Для вычисления интеграла строят правила вида

Такие правила зависят от параметров: от узлов коэфф. и числа значений ф-ции Чем больше , тем большей точности можно достичь, используя правила (1).

Поэтому считают произвольным, но фиксированным числом и рассматривают задачу о выборе лишь Их стремятся выбрать так, чтобы достичь возможно большей точности правила (1).

Наиболее распространенный и плодотворный принцип выбора к состоит в повышении степени точности правила. Рассмотрим его идею на частном примере. Пусть отрезок конечный и нужно построить правило, которое давало бы возможно большую точность для любой непрерывной на ф-ции . Известно, что если непрерывна на то для любой сколь угодно малой заранее заданной границы погрешности в существует такой алгебр, многочлен

отличающийся от при всех значениях по значению меньше чем на . Это позволяет ожидать, что правило (1) будет давать удовлетворительную точность для всякой непрерывной ф-ции если оно имеет малую погр. в том случае, когда многочлен. Поэтому правило интегрирования (1) часто строят так, чтобы оно было точным для алгебр, многочленов возможно более высокой степени. Обычно говорят, что равенство (1) имеет алгебр, степень точности , если оно точно для всевозможных многочленов степени и не выполняется точно для Одновременно нужно отметить, что в др. условиях приходится иметь дело с задачей достижения высокой степени точности для иных способов приближения. Так, если строят правила для интегрирования периодических ф-ций, то стремятся к достижению возможно более высокой тригонометрической степени точности и т. п. Параметры правила (1) не всегда произвольны. Напр., когда ф-ция задается таблично, То выбор весьма стеснен: можно взять либо все табличные узлы, либо часть их опустить, но нет возможности придавать произвольные значения.

В проблеме повышения степени точности правила (1) рассматриваются три следующие задачи.

а) Пусть все параметров являются произвольными. Их можно выбрать так. чтобы сделать правило точным для всех алгебр. многочленов степени . Можно показать, что когда весовая ф-ция знакопостоянна на этого действительно можно достигнуть, выбрав надлежащим образом Более того, можно показать, что при этом определяются единственным образом и что степень точности является наивысшей возможной. Впервые правило такого тина построил нем. математик Гаусс (1777—1855) для случая конечного отрезка и постоянной весовой ф-ции Оно применяется для вычисления интеграла когда ф-ция является достаточно гладкой.

б) Пусть узлы правила (1) избраны и фиксированы, а произвольными являются лишь коэфф. . С такими условиями построения правила (1) встречаются, напр., в задаче интегрирования таблично заданных ф-ций. Один из возможных способов построения правила (1) состоит в том, что ф-цию интерполируют по ее значениям при помощи алгебр, многочлена степени

и затем заменяют в интеграле ф-цию на многочлен После почленного интегрирования получают квадратурные формулы вида

По способу их получения эти ф-лы наз. интерполяционными. Они вполне характеризуются условием, что равенство (2) выполняется точно всякий раз, когда есть многочлен степени

Особенно широко применяют интерполяционные ф-лы вида Котеса, в которых в качестве узлов приняты равноотстоящие трчки отрезка

В этом случае коэфф. , где

Котес вычислил коэфф. для при Простейшие ф-лы Котеса часто применяют при вычислениях с невысокой точностью. При интерполирование выполняется по двум значениям на концах отрезка а и b. Равенство (2) приводит к ф-ле трапеций

При ф-ция интерполируется по значениям в трех узлах Котеса совпадает с правилом парабол

Равенства (3) и (4) имеют невысокую точность и с целью применения их к вычислениям отрезок обычно разделяют на достаточно большое к-во малых частей длины к каждой из которых применяют правило (3) или (4) и затем складывают результаты по всем отрезкам. Получающиеся после этого «общие правила» трапеций и парабол могут быть записаны в виде

в) В некоторых случаях, напр., при графических расчетах, полезно пользоваться правилами квадратур с равными коэфф.

Они имеют параметров . Если параметры выбраны так, что равенство (5) выполняется точно для всяких многочленов степени , такие правила наз. квадратурными ф-лами Чебышева. Первая ф-ла такого рода была найдена в середине 19 в.:

Здесь равенство выполняется точно, если есть произвольный многочлен степени Чебышева можно построить при всяком для любой весовой ф-ции для которой , но среди ее узлов могут оказаться узлы, выходящие за границу отрезка интегрирования и даже комплексные. Так, для случая постоянной весовой ф-ции Чебышева все узлы будут действительными только при Для всех др. значений среди узлов будут существовать комплексные. До 1965 считали, что является единственной ф-лой Чебышева, у которой при всяких все узлы действительные, и лишь в 1965 были найдены весовые ф-ции для которых может быть построена ф-ла Чебышева с действительными узлами при всяких или для бесконечного к-ва значений .

3) Вычисление неопределенного интеграла. В задаче вычисления неопределенного интеграла как правило, бывает нужно найти ф-цию для многих значений и это существенно отличает ее от задачи вычисления определенного интеграла. Допустим, что нужно вычислить в равноотстоящих точках с шагом . Предположим, что вычисления доведены до точки и составлена табл. значений:

Нужно найти . Для этого можно использовать несколько ранее найденных значений и те значения которые можно вводить в вычисления.

В общей форме расчетное правило можно записать в виде:

При построении этого правила существенное значение имеет следующее.

а) Правило содержит параметров Их выбирают так, чтобы правило имело достаточно высокую или даже наивысшую возможную алгебр. Степень точности. Это условие такое же, как и в задаче вычисления определенного интеграла, б) На каждом шаге вычислений появляется некоторая погр. От шага к шагу погр. будут накапливаться, и погр. вычисления будет возрастать с увеличением к-ва шагов. Закон роста будет

зависеть от выбора правила (7); при этом рост может оказаться столь быстрым, что правило может стать непригодным для счета даже на небольшое число шагов. При построении правила (7) необходимо заботиться о том, чтобы соответствующий ему рост погр. был достаточно медленным, чтобы можно было вычислить при малых h ф-цию со сколь угодно малой погр. на всем отрезке, где она должна быть найдена. Правило (7), обладающее этим свойством, часто наз. устойчивым относительно роста погр. Признаки устойчивости были выяснены в середине 20 в. в) При вычислениях по труднее всего находить значения ф-ции Можно упростить расчеты и сберечь машинное время, если правило (7) строить так, чтобы каждое значение применялось для нахождения не одного, а нескольких значений

Пусть известна таблица значений ф-ции в равноотстоящих точках и нужно найти значения в тех же точках. Для вычислений здесь часто используют правило

Оно является интерполяционным, точным для случая, когда есть произвольный многочлен степени устойчивым относительно роста погр., и каждое значение используется для нахождения значений у.

В 40—60-х годах 20 ст. были предложены иные принципы построения правил интегрирования. Опишем некоторые из них. 1) Правила с наименьшей оценкой погр. в заданных мн-вах ф-ций. Такие правила построены в небольшом к-ве простейших случаев. 2) Правила с наискорейшим убыванием погр. в заданном классе ф-ций при неограниченном возрастании числа слагаемых в интегр. сумме. Построены детерминированные и недетерминированные методы со сходимостью порядка и недетерминированные со сходимостью по вероятности порядка на классе ф-ций s переменных у которых все производные порядка ограничены по модулю постоянной А. Аналогичные результаты получены и в некоторых других классах ф-ций. 3) Метод статистических испытаний или Монте-Карло метод, основанный на приведении задачи вычисления нужной величины к вычислению вероятности в процессах со случайными величинами. Простейший пример метода дается задачей о вычислении интеграла

Если в квадрате взять случайную точку , то вероятность ее попадания на площадь S равна интегралу . Пусть взяты N случайных точек и пусть для L из них выполняется неравенство т. е. эти точки лежат на S. Тогда вероятность прибл. находится по . Лит.: Крылов В. И., Шульгина Л. Т. Справочная книга по численному интегрированию. М., 1966 [библиогр. с. 324—360]; Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. М., 1967; Бахвалов Н. С. Об оптимальных методах решения задач. «Aplikace mathematiky», 1968, sv. 13, Кг 1; Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 2. М., 1970.

В. И. Крылов.