бесконечного), т. е. А. должен обеспечивать решение любой задачи из класса однотипных задач. Понятие А. - одно из осн. в математике. Нахождение А. для решения различных классов задач есть одной из целей математики. Напр., всякое алгебраическое уравнение к-й степени имеет не более к разных корней. Возникает проблема нахождения А., с помощью которого, задав коэфф. уравнения, можно было бы определить, сколько именно имеет данное ур-ние корней и какой кратности, а также такого А., который позволял бы с любой наперед заданной точностью вычислить эти корни. Такие А. были найдены в алгебре: правило Штурма для определения числа вещественных корней алгебр. ур-ния и алгоритм Лобачевского для нахождения этих корней. Для других задач, напр., для некоторых типов дифф. ур-ний, соответствующий А. не найден, хотя установлено, что для всех задач данного типа решение существует. С практической точки зрения особую ценность составляют А., приводящие к решению задачи наиболее кратким путем. До появления ЭВМ А., для осуществления которых необходимо было выполнить несколько сот тысяч элементарных операций, представляли лишь теор. интерес. С применением этих машин исследования алгоритм, разрешимости различных классов задач приобрели непосредственное практическое значение.
Рассмотренное понятие А. только в общей форме характеризует вычисл. процессы, обычно описываемые в виде словесных правил, схем, формул, программ и др. Оно не является точным матем. определением, а лишь объясняет смысл слова А., в котором это слово используется в математике, поскольку в нем не определяется, что следует понимать под «правилами действия». На протяжении длительного времени понятие А. в своей основе не изменялось (хотя и приобретало все большую и большую выразительность), поскольку оно рассматривалось только в связи с построением конкретных А. и математики удовлетворялись его содержательным пониманием. Лишь в 30-х годах 20 ст. в связи с вопросами обоснования математики и с развитием вычислительной математики и вычислительной техники возникла необходимость в рассмотрении общих способов формализации задач и процессов их решения, в уточнении понятия А. как объекта матем. теории (см. Алгоритмов теория). Процесс выполнения А. наз. алгоритмическим процессом. Для некоторых исходных данных он заканчивается получением искомого результата после конечного числа шагов. Однако допускаются случаи, в которых процесс выполнения А. для некоторых исходных данных безрезультативпо обрывается или продолжается неограниченно. Принято считать, что к этим исходным данным А. не применим. Понятие А. тесно связано с понятием «алгоритмический язык» (на котором задан А.) и понятием «правило выполнения А. при заданных для него исходных данных. Алгоритмический язык и правило выполнения А. (которое по существу само является А. и его можно назвать «алгоритмом выполнения А.») естественным образом выделяют определенное семейство А.
Каждая детерминированная вычислительная машина является автоматом, действия которого можно описать в виде некоторого А. Такой А. является А. выполнения программ указанной вычислительной машины. Сами программы можно рассматривать как некоторый класс А. При этом алгоритмическим языком является команд система вычислительной машины. Н. А. Нрипицкий.
