ЛАПЛАСА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
— преобразования, определяемые соотношениями:
где 
функция действительной переменной 
комплексное число. Интеграл в 
интегралом Лапласа (и. Л.), ф-ция f(t) наз. оригиналом, а ф-ция комплексной переменной F (s) - изображением (преобразованием или трансформацией Лапласа) ф-ции f(t). Для сходимости и. Л. необходимо и достаточно, чтобы: а) 
существовал при любом конечном 
существовало такое число 
при котором 
Если 
принадлежит к классу кусочно-непрерывных функций, то условием сходимости и. Л. является существование таких чисел 
при которых 
при любых 
Если существует число 
такое, что при 
и. Л. сходится, а при 
расходится, то оно наз. абсциссой сходимости, а прямая 
осью сходимости и. Л. Аналогично определяется абсцисса абсолютной сходимости 
абсолютной сходимости 
и. Л. Помимо прямого одностороннего Л. п., определяемого ф-лой (1), пользуются также двухсторонним Л. п., при котором интегрирование ведется в пределах 
Если оригинал равен нулю при 
то двухстороннее Л. п. совпадает с односторонним.
Обратное Л. п., позволяющее по изображению определить оригинал, дается 
ф-лой (2) (формула обращения (Меллина)), если 
кусочнонепрерывна и имеет в каждой точке производную или производные слева и справа. 
подобная (2), имеет место и для двухстороннего Л. п. Для вычисления интеграла в (2) используют методы теории ф-ций комплексного переменного (изменение пути интегрирования, вычисление вычетов); применяют также разложение 
в различные ряды (степенные, ряды по показательным ф-циям и т. д.) и др. численные методы. Существуют также обширные справочные таблицы, позволяющие непосредственно находить изображения по оригиналам и наоборот.
Соотношения (1) и (2) иногда записывают соответственно в виде 
где L и 
символы прямого и обратного Л. п.
Л. п. широко используются при решении дифференциальных и интегральных уравнений,
анализе и синтезе систем автоматического управления, в связи, электротехнике и др. областях науки и техники.
Лит.: Конторович М. И. Операционное исчисление и нестационарные явления в электрических цепях. М., 1955; Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М., 1961 [библиогр. с. 508—520]; Харкевич А. А. Спектры и анализ. М. 1962 [библиогр. с. 235—236]; Гарднер М. Ф., Бэрнс Дш. Л. Переходные процессы в линейных системах с сосредоточенными постоянными. Пер. с англ. М., 1961 [библиогр. с. 530-546]; Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и z-преобразования. Пер. с нем. М., 1971. Ю. В. Крементуло.
