АЛГЕБРЫ УНИВЕРСАЛЬНЫЕ.

Алгеброй универсальной наз. объект, задаваемый некоторым множеством А — носителем алгебры — и некоторым (возможно бесконечным) набором ф-ций всюду определенных на Л и со значениями в А, называемыми операциями алгебры 81. Число аргументов операции арностью этой операции. Операции различают: унарные, бинарные, тернарные и т. д. Рассматривают также нульарные операции (под этим понимают отмеченные элементы носителя). Упорядоченный набор символов операции А. у. с указанием их арности наз. сигнатурой алгебры . А. у. — одно из осн. понятий алгебры. Почти все алгебраические структуры (полугруппы, группы, структуры, кольца и т. д.) являются А. у. в определенном выше смысле. Так, напр., кольцо целых чисел Z можно рассматривать как А. у., носителем которой является множество целых чисел, а сигнатура состоит из трех бинарных операций — сложения, вычитания и умножения. Всякую полугруппу можно считать А. у. с сигнатурой, состоящей из одной бинарной операции — умножения. Группу естественно считать А. у. с тремя операциями: одной бинарной — умножение; одной унарной — взятие обратного элемента и одной нульарной (константа единица). Под понятие А. у. не подпадает такая важная алгебр, структура, как поле, если его рассматривать как множество с четырьмя бинарными операциями — сложением, вычитанием, умножением и делением. Действительно, бинарная операция деления не определена для Для охвата подобных, часто встречающихся в алгебре обстоятельств, наряду с А. у. рассматриваются и так наз. частичные универсальные алгебры (ч. у. а.), в определении которых не требуется, чтобы операции их сигнатуры были всюду определенными ф-ция-ми. Еще более общим является понятие алгебраической системы, введенное А. Тарским под названием «реляционная

система» (термин «алгебраическая система» предложил А. И. Мальцев), под которым понимают ч. у. а., в которых наряду с операциями на носителе А задан некоторый набор предикатов. Алгебраическими системами являются, напр., упорядоченные группы, в которых наряду с операциями умножения определен еще бинарный предикат порядка.

Понятие А. у. ввел под названием «абстрактная алгебра» в 30-х годах 20 ст. амер. алгебраист Г. Биркгоф. Ему принадлежат первые осн. результаты теории А. у. Широкое развитие этой области началось в 50-х годах. К этому времени, именно в рамках логики математической, в работах А. Тарского, А. Робинсона и особенно А. И. Мальцева был разработан язык и аппарат, оказавшийся очень приспособленным для решения ряда общих задач в теории групп, полугрупп и др. разделов алгебры. В дальнейшем выяснилось, что естественной областью применения аппарата матем. логики является теория моделей и теория алгебраических систем, в частности теория А. у. Наряду с этим теория А. у. также использует теоретико-множественный аппарат теории категорий. Теория А. у. развивается в рамках общей алгебры с широким использованием математико-логических и теоретико-категорных понятий и методов. Значительных успехов в этой области достигли сов. ученые А. И. Мальцев и его сотрудники (Новосибирск) и А. Г. Курош с сотрудниками (Москва). За рубежом эта область развивается преимущественно в США (А. Тарский, Р. Линдон), а также в Англии (П. Кон), Польше (И. Лось, Е. Марчевский) и Японии (К. Шода).

В теории А. у. в настоящее время изучаются в осн. классы А. у. с одинаковой сигнатурой, причем такие, что между операциями сигнатуры выполняются отношения, описываемые некоторым набором замкнутых формул исчисления предикатов узкого. Такие классы А. у. наз. аксиоматизируемыми классами А. у., а соответствующие наборы замкнутых формул — системами аксиом данного класса. Аксиоматизируемыми классами являются привычные алгебр, структуры (группы, кольца, поля и т. д.), аксиомы которых записываются формулами узкого исчисления предикатов. Напр., аксиома групп теории о том, что умножение в группе допускает левое обращение, записывается так .

Одной из осн. задач теории А. у. является изучение свойств и взаимоотношений аксиоматизируемых классов А. у. Среди аксиоматизируемых классов особенно хорошо изучены те, которые могут быть заданы аксиомами, состоящими из тождеств. Такие классы наз. многообразиями А. у., «эквацио-нально определимыми классами» или «примитивными классами». Фундаментальная теорема о многообразиях А. у., доказанная Г. Биркгофом, утверждает, что класс А. у. является многообразием тогда и только тогда, если он замкнут относительно следующих теоретико-множественных операций: взятия подалгебры, перехода к гомоморфному образу и образований декартова произведения. Подобные характеристики были установлены и для других типов аксиоматизируемых классов. Изучение определимости А. у. некоторого аксиоматизируемого класса системами образующих и определяющих отношений является важной задачей теории А. у. в кибернетике. Большое значение имеет понятие свободных А. у. некоторого аксиоматизируемого класса. Свободные алгебры данного класса — это (несколько неточно) такие алгебры данного класса, из которых все остальные А. у. могут быть получены как гомоморфные образы. Свободные алгебры существуют не во всех аксиоматизируемых классах, но там, где они существуют, напр., в многообразиях, они играют значительную роль. Теория А. у. изучает строения групп автоморфизмов и полугрупп эндоморфизмов А. у., а также решеток подалгебр и решеток конгруэнций.

В целом теория А. у. объединяет многие параллельные разделы классических ветвей общей алгебры и в то же время имеет собственную проблематику, все более расширяющуюся. Результаты теории А. у. имеют большое значение для дальнейшего развития различных отраслей кибернетики. С абстрактной точки зрения всякое автоматическое устройство дискретного действия можно рассматривать как некоторую А. у. Естественно, напр., считать множество состояний оперативной памяти ЦВМ носителем некоторой А. у., а набор ее операций — операциями соответствующей А. у. С абстрактной точки зрения свойства так определенной А. у. отражают функциональные возможности ЦВМ. Поэтому в абстрактной теории цифровых автоматов, а также в теории программирования широко применяют те разделы алгебры, которые относятся к теории А. у. Здесь связь кибернетики с теорией А. у. прямая. Теория А. у. тесно связана с различными разделами матем. логики, теории рекурсивных функций и алгоритмов теорией. Так, напр., в матем. логике некоторые ученые (А. Линдейбаум, Е. Расёва, Р. Сикорский, А. Тарский и др.) трактуют формализованные матем. теории как А. у. Носитель А. у., сопоставленной некоторой формализованной теории, состоит при этом из совокупности правильно построенных формул данной теории, а операции соответствуют ее теоретико-высказывательным связкам и кванторам. Применение такой операции к заданным формулам состоит в образовании новой формулы, получающейся из заданных формул, как последовательность, состоящая из их записи, скобок и знака связки или знака квантора. Напр., результат операции соответствующей конъюнкции, примененный к формулам X и Y, является формулой . Получающуюся А. у. наз. алгеброй формул данной теории. В алгебре формул вводится конгруэнция, согласно которой формулы, выводимые друг из друга по правилам вывода теории, считаются эквивалентными. Тогда формализованной теорией считается факторалгебра алгебры формул по

этой конгруэнции. Такой подход позволяет изучать формализованные матем. теории в рамках теории А. у. (см. также Алгебра логики, Моделей теория).

Лит.: Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. М., 1962 [библиогр. с. 383—387]; Биркгоф Г. Теория структур. Пер. с англ. М., 1952 [библиогр. с. 370—398]; Робинсон А. Введение в теорию моделей и метаматематику алгебры. Пер. с англ. М., 1967 [библиогр. с. 356—372]; Кон П. Универсальная алгебра. Пер. с англ. М., 1968 [библиогр. с. 329—338]; Расева Е., Сикорский Р. Математика метаматематики. Пер. с англ. М., 1972 [библиогр. 568—578]. Л. А. Калужнин.