БОЛЬЦА ЗАДАЧА

— одна из наиболее общих вариационных задач с хорошо развитой теорией необходимых и достаточных условий экстремума. Формулируется так: среди всех гладких кривых удовлетворяющих дифференциальным уравнениям связи

и граничным условиям

найти такую, которая доставляет минимум функционалу

Чтобы такая задача имела смысл, ф-ции должны удовлетворять определенным требованиям (в частности, система (1) должна допускать представление в виде где — дифференцируемые ф-ции своих аргументов, ф-ции должны быть независимыми и т. д.). Гладкие либо кусочно-гладкие ф-ции удовлетворяющие ур-ниям (1), (2), наз. допустимыми.

В приведенной форме В. з. является задачей с подвижным левым и фиксированным правым

концами. Можно рассмотреть Б. з. с обоими подвижными концами. Частными случаями Б. з. является Майера задача (когда в функционале и Лагранжа задача

Б. з. может быть сведена к любой из последних двух задач. Например, если рассматривать кривые подчиненные, кроме условий (1) — (2), дополнительным условиям и записать I в виде то в таком виде Б. з. эквивалентна задаче Майера.

Важную роль в теории Б. з. играет правило множителей: для каждой допустимой кривой С, доставляющей минимум I, существуют ф-ции , ограниченные и непрерывные на исключением значений х, соответствующих угловым точкам С), и константа такие, что ф-ция вдоль С удовлетворяет почти всюду ур-ниям

где — постоянные, а для подвижного (левого) конца кривой С выполняется условие трансверсальности:

Следствия, вытекающие из правила множителей:

1. В каждой точке допустимой кривой С, удовлетворяющей ур-ниям (4), кроме угловых точек, справедливы равенства (в предположении, что соответствующие производные существуют)

ур-ния Эйлера.

2. В каждой угловой точке кривой С, удовлетворяющей ур-ниям (4), левый и правый пределы каждой из ф-ций совпадают — условия Вейерштрасса — Эрдмана. Допустимая кривая, для которой справедливы ур-ния Эйлера, наз. экстремалью. Кроме ур-ний Эйлера, необходимо выполняющихся для любой кривой, дающей минимум для Б. з. известны необходимые условия Вейерштрасса, Клебша и т. н. четвертое необходимое условие минимума. Известны также условия. достаточные для того, чтобы допустимая кривая давала минимум I. Каждое из этих условий может быть получено, если на ф-ции и т. д. накладывать дополнительные требования.

Теория Б. з. используется при решении различных задач оптимизации, в частности, задач, связанных с изучением движущихся объектов.

Лит. см. к ст. Вариационное исчисление.

Ю. М. Данилин.