ЗАДАЧА ОБ ОПТИМАЛЬНОМ БЫСТРОДЕЙСТВИИ

— одна из основных задач теории оптимального управления, в которой критерием качества управления является время перехода из одной точки в другую. Формально соответствует случаю в общей задаче оптимального управления теории, когда Общая постановка 3. об о. б. такова. Имеется объект управления, закон движения которого описывается системой дифф. ур-ний

где вектор фазовых координат, и — управление, которое является -мерным вектором, меняющимся в некотором множестве V -мерного простр., ф-ции непрерывны и непрерывно дифференцируемы по Заданы точки Требуется выбрать такую измеримую ограниченную ф-цию и и моменты времени что и траектория систем (1), соответствующая управлению и и точке проходит в момент через точку удовлетворяются соотношения

и разность минимальна. Принцип максимума (см. Лонтрягина принцип максимума) для этой задачи формируется следующим образом. Пусть оптим. управление, являющееся решением поставленной задачи оптим. быстродействия, соответствующая ему траектория. Тогда найдется такая ге-мерная вектор-функция , что:

а) справедлива система ур-ний

где

в) ф-ция постоянна на отрезке , и неотрицательна.

Наиболее развита теория 3. об о. б. для линейных систем дифф. ур-ний, т. е. для случая, когда ф-ции линейны по и по и. В этом случае система (1) может быть записана в векторной форме , где А — матрица с элементами , матрица с элементами . Для линейной 3. об о. б. пришита максимума приобретает следующий вид: для того, чтобы управление было оптим., необходимо, чтобы существовала такая вектор-функция , которая удовлетворяет системе дифференциальных уравнений: , где А — матрица,

транспортированная к скалярное произведение векторов х и у. Допустим, что область — параллелепипед, т. е. определяется неравенствами г. Говорят, что выполнено условие общности положения, если для всех системы векторов линейно независимы. Здесь вектор имеет компоненты Все приводимые ниже результаты справедливы при выполнении этого предположения. Пусть решение задачи линейного оптим. быстродействия. Тогда каждая из ф-ций кусочно постоянна, имеет лишь конечное число разрывов и равно или —1. Моменты времени t, в которые происходит смена значения на —1 или наоборот, наз. моментами переключения. Т. о., оптим. управление имеет лишь конечное число моментов переключения. Если все собственные значения матрицы А действительны, то число моментов переключения каждой из компонент в оптим. управлении не превосходит Последнее утверждение носит название теоремы об интервалах. Лит. см. к ст. Оптимального управления теория.

Б. Н. Пшеничный.