АЛГЕБРА МАТРИЦ

— раздел алгебры, в котором изучаются матрицы и различные операции над ними. Матрицы — это прямоугольные или квадратные таблицы вида

где — элементы какого-нибудь мн-ва S; говорят, что А — матрица над S. Чаще всего S — некоторое числовое мн-во (мн-во всех комплексных, действительных, рациональных, целых или др. чисел), либо (в более общем случае) — носитель какой-нибудь алгебраической структуры (кольца, поля, группы, булевой алгебры и т. д.). В таких случаях операции, определенные на S естественно распространяются на совокупность матриц над S так, что она в свою очередь образует алгебр, структуру. Изучение свойств таких алгебр, структур и их применение в различных разделах математики составляет содержание теории матриц. В дальнейшем (если противное не оговорено) будем считать, что S — либо кольцо R, либо даже поле К (т. к. это исчерпывает почти полностью все случаи, встречающиеся на практике).

Последовательности — строки, а последовательности столбцы матрицы А. Последовательность диагональю матрицы А. Матрица размера (коротко -матрица) — это матрица с строками и столбцами; при ее наз. квадратной матрицей порядка п. Совокупность таких матриц над мн-вом S обозначим через или Эта совокупность с операциями сложения и умножения, которые определены дальше, наз. матричными алгебрами над мн-ва-ми. Матрицы размера и соответственно строчными и столбцевыми векторами. В теории матриц часто встречаются матрицы следующих частных видов: нулевая матрица От размера все диагональная матрица, т. е. квадратная матрица, все элементы которой вне диагонали равны нулю:

скалярная матрица (если в D все ); единичная матрица (если все с обозначают ее Е. Матрица

наз. транспонированной к матрице А. Сумма матриц А и В одинакового размера и умножение матрацы на скаляр определяются согласно ф-лам:

С этими операциями совокупность матриц размера над кольцом образует модуль, а при К — поле) — векторное пространство размерности . Умножение матриц А и В определяется только в том случае, если А — -матрица, В — матрица размера . Тогда произведение С = А • В — матрица размера к, причем

где

В частности, умножение всюду определено для квадратных матриц одинакового порядка из Определение операции умножения матриц (4) связано с применением матриц для описания линейных отображений (см. Операторы линейные), а также преобразования координат. Пусть, напр., V, W — векторные пространства соответственно размерностей над R и пусть базисы этих пространств. Линейное отображение ( в W) полностью определяется образами базисных элементов; они выражаются в свою очередь через базис следующим образом:

и матрица

полностью определяет отображение . Если теперь U — некоторое третье векторное пространство ( - его базис), -линейное отображение его матрица для базисов то линейному отображению получающемуся в результате последовательного применения J: и отвечает матрица С, равная произведению , которое определено согласно закону (4). При с базисом в V соответствующие матрицы являются квадратными, т. к. они находятся во взаимно однозначном соответствии с линейными операторами пространства F, и алгебра квадратных матриц порядка изоморфно представляет алгебру линейных операторов -мерного векторного пространства над полем К. Соответствие зависит от выбранного базиса При переходе к новому базису с помощью матрицы перехода С линейному оператору соответствует матрица , где - т. н. обратная матрица матрицы С, т. е. Матрицы подобными.

Центр, задача теории линейных операторов и матриц: среди всех матриц найти наипростейшую (это т. н. задача о приведении матриц к нормальной форме). В частных случаях — это диагональная матрица, в которой по диагонали стоят собственные значения матрицы (т. е. корни характеристического полинома так что нормальная диагональная форма однозначно определена вплоть до порядка следования диагональных элементов. В общем случае матрицы приводятся либо к т. н. нормальной форме Жордана (если - поле комплексных чисел), либо к нормальной форме Фробениуса (если поле К — произвольное). Приведение матрицы к нормальной форме применяют для упрощения алгебр, действий над матрицами, при решении линейных дифф. ур-ний, в операторном исчислении и во многих задачах геометрии и механики.

Матрицы используют для описания и исследований билинейных и квадратичных форм.

При переходе к другому базису с помощью матрицы перехода С матрица билинейной формы преобразуется согласно закону , где - транспонированная матрица. Тем самым закон преобразования матрицы билинейной формы обычно отличается от преобразования матрицы линейного оператора. Совпадение происходит только для тех матриц перехода, для которых это т. н. ортогональные матрицы. Симметрическим билинейным формам отвечают симметрические матрицы, т. е. такие, для которых . В частности, симметрические матрицы всегда приводимы к диагональному виду (к главным осям), даже если ограничиться ортогональными матрицами перехода. Приведение к главным осям — одна из центр, операций алгебры линейной и теории матриц. Ее применяют к геометрии и механике. Возможны обобщения на случай бесконечномерных пространств и «бесконечных» матриц.

Большое значение, особенно для вероятностей теории, имеют матрицы над полем действительных чисел с неотрицательными коэффициентами. Если все и сумма элементов каждой строки равна 1, то матрица наз. стохастической. Такие матрицы служат для определения однородных нова цепей с конечным числом состояний. Коэфф. матрицы интерпретируются как переходные вероятности, а степень матрицы описывает вероятности перехода состояний процесса за шагов. Важным является поведение последовательности при , т. е. «предельное» поведение процесса. Тем самым алгебра и анализ стохастических матриц образуют матем. аппарат теории марковских цепей.

Линейные операторы и квадратичные формы в бесконечномерных векторных пространствах полем действительных или комплексных чисел описывают с помощью бесконечных матриц различного вида. Рассматриваются матрицы со счетным множеством строк и столбцов. Другое обобщение — это рассмотрение как матриц действительнозначных или комплекснозначных ф-ций всюду определенных на некотором квадрате . В этом случае мн-ва строк и столбцов имеют мощность континуума. Для определенности осн. операций А. м. и в первую очередь операции умножения (4) и в случае бесконечных матриц возникает необходимость наложить на коэфф. таких матриц те или иные свойства сходимости. Этот вопрос относится к функциональному анализу.

Для приложений матриц в логике математической (в теории предикатов) и в абстрактной теории автоматов значительную роль играют матрицы над двуэлементной булевой алгеброй . Операции сложения и умножения таких матриц в ф-лах (3) и (4) понимаются тогда как булево сложение и умножение. Иногда вместо двуэлементной булевой алгебры 33 в подобных случаях рассматривают матрицы над полем из двух элементов (см. Жегалкина алгебра). Сов. математик И. И. Жегалкин (1869—1947) применил этот аппарат для исследования разрешимости формул исчисления предикатов узкого. В математической экономике матрицы часто используют при составлении балансов, а также в теории систем линейных неравенств, применяемых в программировании линейном.

Лит.: Цейтлин М. Л. Применение матричного исчисления к синтезу релейно-контактных схем. «Доклады АН СССР», 1952, т. 86, № 3; Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М., 1967 [библиогр. с. 562—5703; Веллман Р. Введение в теорию матриц. Пер. с англ. М., 1969 [библиогр. с. 359— 361]. Л. А. Калужнин.